Электростатика.Цилиндрическая коробка

[Whoever]

Элeктростaтичeское поле сoздается ограниченнoй цилиндрическoй корoбкой радиусa $\[r\]$.
Ось цилиндра сoвпадает с oсью $\[Oz\]$.
Корoбке соответствует oтрезок $\[[ - h;h]\]$ оси $\[Oz\]$.
Корoбка закрыта с одной стороны оснoванием - дискoм радиуса $\[r\]$ на плoскости $\[z = - a\]$, с другой стороны коробка открыта.
Заряд $\[{q_1}\]$ равномерно распределен на боковой поверхности корoбки.
Заряд $\[{q_2}\]$ равномерно распределен на оснoвании.
Какую работу совершает поле, создаваемое этой коробкой, при перемещении заряд $\[e\]$ вдоль оси $\[Oz\]$ из точки с кoординатой $\[z = 0\]$ в точку с кoординатой $\[z = 2a\]$ ?
Считать $\[{\varepsilon _r} = 1\]$
Идеи: в теории,сначала нужно найти потенциал, создаваемый цилиндром в точках оси $\[Oz\]$.
Потом вычислить работу как разность потенциалов.
Непонятно как к этому приступить, как в этом случае записать потенциал в рассматриваемом пространстве.

[amon]

Считайте, что Ваша банка состоит из равномерно заряженных колец. Потенциал на оси кольца, я надеюсь, Вы считать умеете. Вот и просуммируйте потенциалы от всех колец.

[Whoever]

amon
Есть формула для потенциала на оси равномерно заряженного кольца радиусом $\[R\]$ и зарядом $\[q\]$ :
$\[\varphi (x) = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {x^2})}^{1/2}}}}\]$
Формула для потенциала в точках на оси равномерно заряженного диска радиуса $\[R\]$. Поверхностная плотность заряда $\[\sigma \]$.
$\[\varphi (x) = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}(\sqrt {{x^2} + {R^2}} - \left| x \right|)\]$
Как быть дальше?

[amon]

В Ваших формулах кольцо и диск лежат в плоскости $YZ$, и их центр совмещен с началом координат. Перепишите эти формулы для объекта, лежащего в плоскости $XY$, с центром в произвольной точке оси $Z$.

[Whoever]

amon
$\[\varphi (x) = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + (z - {z_0}^2))}^{1/2}}}}\]$

$\[\varphi (x) = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}(\sqrt {{{(z - {z_0})}^2} + {R^2}} - \left| {z - {z_0}} \right|)\]$
$\[{{z_0}}\]$ - центр

[amon]

Ну, так мы почти все решили. Берем Вашу банку, разрезаем ее на колечки толщиной $dz$, заряд каждого колечка будет ... (сообразите какой), складываете потенциалы всех колечек в точках $z_0=0$ и $z_0=2a$, прибавляете к ним потенциал диска, расположенного в точке $z=-a$ в соответствующей точке, вычитаете одно из другого, умножаете на заряд, и ву-аля, задача решена.

[Whoever]

amon
$\[d\varphi = \frac{{dq}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + (z - {z_0}^2))}^{1/2}}}} = \frac{{2\pi r \cdot dz \cdot \sigma }}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + (z - {z_0}^2))}^{1/2}}}}\]$ - это, по идее, потенциал кольца толщиной $\[{dz}\]$, расположенного в точке $\[{{z_0}}\]$
$\[d\varphi = \frac{{2\pi r \cdot dz \cdot \sigma }}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + (z - 4{a^2}))}^{1/2}}}}\]$ потенциал кольца в точке $\[z = 2a\]$

$\[d\varphi = \frac{{2\pi r \cdot dz \cdot \sigma }}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + ({z^2}))}^{1/2}}}}\]$ потенциал кольца в точке $\[z = 0\]$

$\[\varphi (x) = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}(\sqrt {{{(z + a)}^2} + {R^2}} - \left| {z + a} \right|)\]$ потенциал диска в точке $\[z = a\]$
Так?

[amon]

Все хорошо, только с зарядом кольца чутка напутали. Нам дан полный заряд боковой стенки, стало быть, заряд колечка будет $q_1\frac{dz}{2h}$ (доля боковой поверхности в полоске $dz$). Дальше складываете (интегрируете) потенциалы от всех колечек в соответствующих точках. Да, у Вас там скобочка криво стоит. Должно быть
$d\varphi = \frac{{dq}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + (z - {z_0})^2)}^{1/2}}}} $. Поправьте это и последующее.

[Whoever]

amon
$\[d\varphi = \frac{{{q_1}\frac{{dz}}{{2h}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}}\]$
и теперь интегрируем это дело от 0 до $\[2a\]$ по $\[z\]$ ?

[amon]

Whoever в сообщении #939023 писал(а):

Корoбке соответствует oтрезок $\[[ - h;h]\]$ оси $\[Oz\]$.

[Whoever]

amon
Да, опечатка. Здесь повсюду $\[a = h\]$

[amon]

Так как интегрировать-то будем?

[DimaM]

amon в сообщении #939509 писал(а):

Так как интегрировать-то будем?

Легче всего по углу, кмк.

[Whoever]

amon
$\[d\phi = \frac{{{q_1}\frac{{dz}}{{2h}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}} = \frac{{{q_1}dz}}{{8h\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}}\]$
$\[\phi = \int\limits_{ - h}^h {\frac{{{q_1}dz}}{{8h\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_{ - h}^h {\frac{{dz}}{{{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}}} = \]$
$\[ = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_{ - h}^h {\frac{{dz}}{{\sqrt {{z^2} - 2{z_0}z + {R^2} + z_0^2} }}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\ln (2\sqrt 1 \sqrt {{z^2} - 2{z_0}z + {R^2} + z_0^2} + 2z - 2{z_0})}}{{\sqrt 1 }}\mathop {\left. {} \right|}\limits_{ - h}^h \]$

[DimaM]

Whoever
Что за $\sqrt{1}$, зачем он?
Кстати, красивые дроби получаются командой \dfrac.