Тонкая однородная палка.

[Padawan]

Почему она вообще должна отделиться от стены? Предлагаю такой путь решения: предположим, что конец палки закреплён в угле. Исходя из обычных уравнений Лагранжна второго рода найдем уравнение движения палки, затем, найдем силу, действующую на палку в точке закрепления по формуле $\mathbf{N}=m\mathbf{a}-m\mathbf{g}$, где $\mathbf{a}$ -- ускорение центра масс палки. Моменту отрыва от стены соответствует момент, после которого становится $N_x<0$ (палка хочет отъехать от стены, а её держат), моменту отрыва от пола соответствует момент, после которого $N_y<0$.
Попробую порешать.

[мат-ламер]

Padawan
В момент отрыва центробежная сила становится больше проекции силы тяжести.

[Oleg Zubelevich]

Общая конструкция следующая. Рассматривается натуральная система с лагранжианом $L(x,\dot x)$ в конфигурационном пространстве $x\in M$. Предположим, имеется дополнительная идеальная связь -- гипермногообразие $N\subset M$. Точка движется по многообразию $N$. Для того, что бы найти момент отрыва точки от многообразия $N$ нужно вычислить силу реакции этой связи $Q_i$ и найти момент, в который вектор $g^{ij}Q_i$ меняет свое направление: до момента $t_0$ смотрел в одно полупространство относительно $N$, после момента $t_0$ стал смотреть в другое полупространство. $g_{ij}$ -- метрика кинетической энергии

[Утундрий]

miranda55 в сообщении #938424 писал(а):

переходить во вращающуюся СО нельзя, так как угловая скорость - функция времени

Интересная логика: я не знаю как - значит, нельзя! На самом деле можно, конечно. И это, кстати, не худший способ решения.

[chislo_avogadro]

Oleg Zubelevich в сообщении #938847 писал(а):

Рассматривается натуральная система с лагранжианом $L(x,\dot x)$ в конфигурационном пространстве $x\in M$...

Проделал эксперимент со шваброй - отрыва нет. Наоборот, в последний момент прижимает к стене. Ч.т.д.

[miranda55]

Утундрий в сообщении #938900 писал(а):

miranda55 в сообщении #938424 писал(а):

переходить во вращающуюся СО нельзя, так как угловая скорость - функция времени

Интересная логика: я не знаю как - значит, нельзя! На самом деле можно, конечно. И это, кстати, не худший способ решения.

Во вращающуюся СО переходят, чтобы превратить динамику в статику. В этой задаче при переходе всё равно остается динамика.

-- 02.12.2014, 07:04 --

Цитата:

Проделал эксперимент со шваброй - отрыва нет. Наоборот, в последний момент прижимает к стене. Ч.т.д.

Надо было пустить швабру и убежать из комнаты. Через 10 секунд вернуться и замерять расстояние от стены до лежащей на полу швабры. Если оно ненулевое (с поправкой на π/4 радиуса скругления держака), то отрыв был.

[miranda55]

DimaM в сообщении #938672 писал(а):

miranda55 в сообщении #938658 писал(а):

Теперь нужно найти закон φ(t)?

Лучше бы сразу подставить $\omega(\varphi)$, а уже потом дифференцировать.

$\omega^2(\phi)=3g\frac{1-\cos{\phi}}{L}.
$\omega(\phi)=(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2}.

$v_x=\frac{L}{2}\omega(\phi)\cos\phi.
$(v_x)'_t=(\frac{L}{2}\omega(\phi)\cos\phi)'_t= \frac{L}{2} [ ((3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2})'_tCos(\phi) - (3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2} Sin(\phi)\phi'_t] =
$=\frac{L}{2} [ \frac{1}{2} (3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{-1/2}(+\frac{3g}{L}Sin(\phi)\phi'_t)Cos(\phi) - (3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2} Sin(\phi)\phi'_t] =
$=\frac{L}{2}Sin(\phi)\phi'_t[\frac{3g}{2L}(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{-1/2}Cos(\phi)-(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2}].

$(v_x)'_t=0.
$[\frac{3g}{2L}(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{-1/2}Cos(\phi)-(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2}]=0.
$[\frac{3g}{2L}(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{-1/2}Cos(\phi)-(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2}]=0.
$\frac{3g}{2L}(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{-1/2}Cos(\phi)=(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1/2}.
$\frac{3g}{2L}\cdot 1 \cdot Cos(\phi)=(3g\frac{1-\cos{\phi}}{L})^{1}.
$\frac{1}{2} Cos(\phi)=\frac{1-\cos{\phi}}{1}.
$3\cos{\phi} = 2.
\phi = \arccos(2/3) \approx 48,19°.

То есть пока угол со стеной меньше 48,19°, то горизонтальная составляющая ускорения положительна. Когда угол становится > 48,19°, гориз. сост. ускорения отрицательна.

[DimaM]

miranda55 в сообщении #939061 писал(а):

Когда угол становится > 48,19°, гориз. сост. ускорения отрицательна.

Отрицательной она стать не может (взаимодействие со стеной - только давление), просто теряется контакт, и уравнение связи перестает выполняться.

[Утундрий]

DimaM в сообщении #939062 писал(а):

Во вращающуюся СО переходят, чтобы превратить динамику в статику. В этой задаче при переходе всё равно остается динамика.

Вы может быть слыхали, что бывают не только равномерно вращающиеся неинерциальные с.о.?

[Skeptic]

chislo_avogadro в сообщении #938908 писал(а):

Проделал эксперимент со шваброй - отрыва нет. Наоборот, в последний момент прижимает к стене. Ч.т.д.

Мешает трение.
Подвесьте швабру на верёвке. Поднимая швабру за один конец, придайте ей горизонтальное положение и отпустите. Заметьте угол наклона швабры, когда её верхний конец начнёт двигаться. На глазок этот угол 45 градусов.

[miranda55]

DimaM в сообщении #939062 писал(а):

miranda55 в сообщении #939061 писал(а):

Когда угол становится > 48,19°, гориз. сост. ускорения отрицательна.

Отрицательной она стать не может (взаимодействие со стеной - только давление), просто теряется контакт, и уравнение связи перестает выполняться.

Почему не может? Отрицательное ускорение означает замедление. Если посмотреть на траекторию свободного конца палки (или центра масс), то это окружность. Следовательно, чем ближе к горизонтали, тем меньше движение по оси X. Поэтому перемена знака x-компоненты ускорения еще ничего не доказывает.

[Xey]

(Оффтоп)

Reikjavic в сообщении #937703 писал(а):

а затем начинает падать с нулевой начальной скоростью

Скорость ноль , угол ноль и сила ноль, кажется поднимался такой вопрос упадет или не упадет.
В смысле, не в бесконечности , а чуть пораньше.

[DimaM]

miranda55 в сообщении #939169 писал(а):

Почему не может?

По условиям задачи.

miranda55 в сообщении #939169 писал(а):

Отрицательное ускорение означает замедление. Если посмотреть на траекторию свободного конца палки (или центра масс), то это окружность.

Траектория - окружность ровно до тех пор, пока не произошел отрыв (пока горизонтальное ускорение центра масс положительно). После этого траектория будет другой.

Вы рассматриваете задачу, когда нижний конец закреплен в шарнире. Это другая задача.

[miranda55]

DimaM в сообщении #939428 писал(а):

miranda55 в сообщении #939169 писал(а):

Почему не может?

По условиям задачи.

miranda55 в сообщении #939169 писал(а):

Отрицательное ускорение означает замедление. Если посмотреть на траекторию свободного конца палки (или центра масс), то это окружность.

Траектория - окружность ровно до тех пор, пока не произошел отрыв (пока горизонтальное ускорение центра масс положительно). После этого траектория будет другой.

Вы рассматриваете задачу, когда нижний конец закреплен в шарнире. Это другая задача.

То есть отрыв объясняется обнулением ускорения, а обнуление ускорения потерей связи. Объясните, пожалуйста, еще раз, почему при обнулении проекции ускорения некой точки на палке, палка как тело начнет отделятся от стены. То что в условии сказано, что якобы палка таки отделится, не означает, что она отделится именно в момент обнуления ускорения.
Или имеется в виду отсутствие трения? -- Опять-таки почему Вы решили, что если какая-то точка палки доли секунды двигалась равномерно, то это обязательно означает, что палка начнет скользить от стены?

При уменьшении угла ускорение вообще бесконечно возрастает (разве это соответствует эксперименту?):
https://img-fotki.yandex.ru/get/16142/2 ... 5_orig.png

[DimaM]

miranda55 в сообщении #939435 писал(а):

Объясните, пожалуйста, еще раз, почему при обнулении проекции ускорения некой точки на палке, палка как тело начнет отделятся от стены.

Не "некой точки", а центра масс. Знаете уравнение движения центра масс?
Обнуление ускорения означает, что горизонтальная скорость перестанет меняться, а при движении по окружности она должна начать уменьшаться. Значит, палка начнет отъезжать от стены.

Вам вопрос: какая сила может создать ускорение центра масс, направленное к стене (считаем, что трения нет)?

miranda55 в сообщении #939435 писал(а):

При уменьшении угла ускорение вообще бесконечно возрастает (разве это соответствует эксперименту?)

Ваша $f(\varphi)$ - это не ускорение (на $\dot{\varphi}$ умножить забыли). А если все написать правильно, бесконечных ускорений, разумеется, не получится.