статы

[Ewigersucher]

Расстояние между атомами двухатомной молекулы в отсутствие колебаний равно а. Найти средний размер такой молекулы при гармонических колебаниях f=-kx. С чего начать? Есть ли какое-то распределение, которое учитывает воздействие силы?

[Munin]

Странная задача. Если колебания гармонические, то среднее положение равно положению равновесия. Вот если есть ангармоническая поправка, тогда не равно.

-- 30.11.2014 20:43:11 --

Идея анализа такая: считаете энергию колебаний константой, колебания происходят в некотором потенциале на постоянной высоте. Надо найти долю времени, которую частица проводит в каждой точке потенциала (куда вообще дотянется), и это будет распределение вероятности по точкам, от которого надо взять среднее. А долю времени - можно найти по скорости, с которой частица проходит это место, а скорость - по кинетической энергии, полная минус потенциальная.

[DimaM]

При гармонических среднее смещение нуль. Тут либо средний размер считается как-то нелинейно, либо негармоничность надо привлекать.

[Ewigersucher]

Munin
Спасибо! Может быть, они хотят, чтобы мы просто доказали, что размер молекулы так и останется равным а. Но условие задачи верно записано.
Вот по Вашим наводкам, скажите, пожалуйста, так должно быть?
$E=kx^2+Mv^2$
$dt=\frac{dx}{\sqrt{\frac{E}{M}-\frac{kx^2}{2M}}}$

Такая доля времени имеется в виду?

[Munin]

С двойками что-то накрутили, а в принципе верно.

[druggist]

А почему в заголовке "статы"? Данная задача имеет отношение к статистической физике? Если да, то что подразумевается под фразой:

Ewigersucher в сообщении #938512 писал(а):

Есть ли какое-то распределение, которое учитывает воздействие силы?

[mihiv]

druggist в сообщении #938677 писал(а):

А почему в заголовке "статы"? Данная задача имеет отношение к статистической физике?

Тут, наверное, вот что имеется в виду: при гармоническом колебании потенциальная энергия равна $E_p=\dfrac{\gamma (x-a)^2}2, (f=-\gamma x)$. Ее среднее значение равно $\langle E_p\rangle =\frac {\gamma }2(\langle x^2\rangle -a^2)$. С другой стороны при гармоническом колебании среднее значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической энергии. Но при тепловом равновесии среднее значение кинетической энергии на колебательную степень свободы равно $\dfrac {kT}2$. Отсюда находим $\langle x^2\rangle $.

[druggist]

mihiv,
Это было бы естественно, если бы в условии была задана температура(ид. газ из молекул в тепловом равновесии при заданной $T$)

[Munin]

druggist в сообщении #938677 писал(а):

Данная задача имеет отношение к статистической физике? Если да, то что подразумевается под фразой

Я так и понял, что речь идёт о статистическом распределении.

[Ewigersucher]

Munin
Появились вопросы. Хочу взять интеграл, чтобы найти <x>.
$<x>=\int\limits_{?}^{?}\frac{xdx}{\sqrt{\frac{E}{M}-\frac{kx^2}{2M}}}$

Изначальное расстояние между атомами равно а. А тот средний икс, который сейчас ищем, это увеличение с обеих сторон от а, если учитывать, что я перешла в систему центра масс? Т.е. конечный размер молекулы будет равен а+<x>?Из-за этого еще один вопрос. В каких пределах интегрировать? От 0 до $\infty$ интеграл расходится.

[Munin]

Ewigersucher в сообщении #939364 писал(а):

Т.е. конечный размер молекулы будет равен а+<x>

В общем да, но $\langle x\rangle=0.$

Ewigersucher в сообщении #939364 писал(а):

Из-за этого еще один вопрос. В каких пределах интегрировать? От 0 до $\infty$ интеграл расходится.

Точка-то движется только там, где ей энергия позволяет. Вот в этих пределах и надо интегрировать. (А за ними, корень будет мнимый.)

[Ewigersucher]

Munin

Спасибо большое. Выразила х из первоначального выражения для закона сохр. энергии:
$\sqrt{\frac{2(E-MV^2)}{k}}$. Предположила, что максимальный икс будет при скорости, равной нулю. Интегрировала в пределах от 0 до $\sqrt{\frac{2E}{k}}$. Меняла нижний предел на полное выражения для икс из закона сохранения энергии, но интеграл все равно не равен нулю.

[DimaM]

Ewigersucher в сообщении #939396 писал(а):

Выразила х из первоначального выражения для закона сохр. энергии:
$\sqrt{\frac{2(E-MV^2)}{k}}$. Предположила, что максимальный икс будет при скорости, равной нулю. Интегрировала в пределах от 0 до $\sqrt{\frac{2E}{k}}$. Меняла нижний предел на полное выражения для икс из закона сохранения энергии, но интеграл все равно не равен нулю.

У вас написан не $\langle x\rangle$, а $\sqrt{\langle x^2\rangle}$.

[Munin]

Ewigersucher в сообщении #939396 писал(а):

Предположила, что максимальный икс будет при скорости, равной нулю.

Минимальный - тоже.

[Ewigersucher]

Munin

Запуталась. Посмотрите, пожалуйста, все ли рассуждения верны теперь?

Находимся в системе центра масс двух атомов.
Центр масс покоится $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$;
Из закона сохранения находим долю времени, которую один из атомов (мой икс обозначается координату каждого из них, так?) проводит в каждой из точек, где позволяет ему быть потенциальная энергия
$E=\frac{kx^2}{2}+Mv^2$
$dt=\frac{dx}{\sqrt{\frac{E}{M}-\frac{kx^2}{2M}}}$;
Эту долю времени считаем функцией распределения случ. величины, т.е. координаты колеблющегося атома, по по координатам. (Вот это тонкое место. Здесь точно правильно рассуждаю?)
Находим среднее значение $\langle x\rangle$, т.е. на какое среднее расстояние может отодвинуться относительно центра масс один из атомов
$\langle x\rangle=\int\limits_{\sqrt{\frac{-2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}}\frac{xdx}{\sqrt{\frac{E}{M}-\frac{kx^2}{2M}}}$. Этот интеграл равен нулю.
Пределы интегрирования были определены из тех соображений, что атом может находиться только в тех точках, где ему позволяет быть его кин. и потенц. энергия. Поэтому выражаем х из первоначального выражения для закона сохр. энергии:
$\sqrt{\frac{2(E-MV^2)}{k}}$. Предполагаем, что максимальный и минимальный икс будет при скорости, равной нулю, поэтому берем пределы от $\sqrt{\frac{-2E}{k}}$ до $\sqrt{\frac{+2E}{k}}$. Но здесь еще вопрос. Если х - это координата одного из атомов, а ц.м. это 0 на оси, то почему я беру +/-, ведь правый атом не может колебаться с другой стороны от ц.м.?

Ответ на вопрос задачи. Конечный размер молекулы будет равен $a+ \langle x\rangle$. Значит, останется равным а.