Собственные значения квадрики

[icrash]

Задано: Найти собственные значения квадрики $4x^2+6y^2+4z^2-2x+6y-5z-1$

Идея решения в том, что нужно построить матрицу из слагаемых квадрики вычесть из нее единичную матрицу
умноженную на $\lambda$ и найти его определитель. Найденные значения $\lambda$ и есть собственные значения

А теперь о сложностях. Я привык к квадратичным формам типа $ax^2_1+bx_1x_2+cx^2_2$ Матрица которого строится по принципу $\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix}$
В общем, здесь то у меня и ступор, я не знаю как расположить эти элементы в матрицу.
К полному квадрату квадрику приводил. В ходе которого получил ${(2x-0.5)}^2+6{(y+0.5)}^2+{(2z-1.25)}^2-{\sqrt{4.3125}}^2$

[Brukvalub]

Ищите в сети на слова "приведение поверхности 2-го порядка к каноническому виду"

[icrash]

Brukvalub в сообщении #938803 писал(а):

Ищите в сети на слова "приведение поверхности 2-го порядка к каноническому виду"

я также уже умею приводить к каноническому виду. но опять таки, все останавливается на этой матрице

[provincialka]

icrash, а в чем проблема? Что переменных три? Ну продолжайте по аналогии. Получите матрицу 3-го порядка.

[Nurzery[Rhymes]]

icrash в сообщении #938789 писал(а):

Задано: Найти собственные значения квадрики $4x^2+6y^2+4z^2-2x+6y-5z-1$

А чем-то обосновано то, что в этой поверхности образуются две дырки, если правую часть сделать равной 100? Этот дефект описывается математически? О нем можно узнать, исследуя только формулу квадрики?

[Lia]

Nurzery[Rhymes]
Замечание за оффтоп. Зададите свой вопрос после обсуждения или заводите свою тему.

[icrash]

provincialka, проблема кроется в том, что то, к чему я привык имеет немного иной формат.

То есть, в формулировке $ax^2_1+bx_1x_2+cx^2_2$, элемент матрицы 1,2 и 2, 1 находится по произведению переменных $x_1$ , $x_2$. а тут голые $x,y,z$. В следствие чего я не могу их разместить в матрицу

[provincialka]

Надеюсь, отсутствие индексов вас не смущает? Видимо, вы не можете найти в уравнении член, например, вида, $axy$? Ну так он там есть! Только коэффициент $a$ равен... (догадайтесь, чему))

[icrash]

provincialka
я знаю, что в $axy=0; a=0$ . Тогда переформулирую вопрос, на позицию 1,1 основной претендент $4x^2$ то есть $4$. Ну и вопрос, который меня тревожит, куда я дену $-2x$? Он ведь тоже только на это место попадает... или нет?

[provincialka]

Что ж вы сразу не сказали? У вас какая-то способность завуалировать свой вопрос.
Линейная часть на решение вашей задачи не влияет. Ее можно убрать сдвигом, как вы уже сделали, выделив полные квадраты.

[icrash]

provincialka

provincialka в сообщении #938904 писал(а):

выделив полные квадраты.

и значения полных квадратов потом заменяю на новые переменные, строю диагональную матрицу $4x4?$ так?

[provincialka]

Зачем? И откуда $4\times 4$? Просто отбросьте линейные члены, на собственные значения они не влияют.
Собственные значения описывают форму квадрики, а линейные - ее местоположение.

[icrash]

то есть $\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Далее

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $-$ $\lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $-$ $\begin{pmatrix} \lambda & 0 &0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 &0 \\ 0 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$\det A={(1-\lambda)(6-\lambda)(1-\lambda)}$

$\lambda_1=6; \lambda_2=1$

У меня нет таких ответов=(

[provincialka]

А какие есть? И куда четверки девались?

-- 02.12.2014, 00:15 --

Я, конечно, позабыла многое из ан.геома. Но разве бывают собственные значения у квадрики? Вам, наверное, надо канонический вид найти? Ну, он и так неплох. Матрица диагональная.

[icrash]

provincialka в сообщении #938964 писал(а):

А какие есть? И куда четверки девались?

есть 4 варианта:

1. $(4;4;6)$
2. $(2;2;3)$
3. $(-4;4;-6)$
4. $(2;-2;3)$
а четверки пропали в ходе сдвига и замены на новые переменные

provincialka в сообщении #938964 писал(а):

. Но разве бывают собственные значения у квадрики?

Раз спрашивается, то наверняка бывают!

provincialka в сообщении #938964 писал(а):

надо канонический вид найти?

Для нахождения канонического вида и нужна эта матрица.