Задача по комбинаторике

[katya.maspanova]

Сколькими способами можно покрасить тремя цветами 6 одинаковых мячиков так, чтобы каждый цвет встречался хотя бы один раз?

Я вывела следующую закономерность, где m - количество мячиков:

$m = 4: (1) + (1) + (1) = 3$
$m = 5: (1 + 1 + 1) + (1 + 1) + (1) = 6$
$m = 6: (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1) = 10$

Исходя из этого ответ на задачу равен 10, но что делать, если при этом еще и количество цветов неизвестно? Т.е. задача обретает вид:
Сколькими способами можно покрасить n цветами m одинаковых мячиков так, чтобы каждый цвет встречался хотя бы один раз?

[AV_77]

Перефразируем: сколькими способами можно разместить $m$ частиц (мячей) по $n$ ячейкам (цветам), чтобы не было пустых ячеек. В результате получаем известную задачу. Смотрите литературу по случайным размещениям.

[pooh__]

Красите просто изначально n мячиков разными цветами, а потом решаете задачу уже без этих заморочек.
Ну не забывая поделить там и умножить на что надо.

[Mihr]

Задача эквивалентна следующей: сколькими способами можно представить натуральное число $m$ в виде упорядоченной суммы $n$ натуральных слагаемых?
Ответ на этот вопрос определяется выражением $C_{m-1}^{n-1}$ (попробуйте сообразить, почему).
В данном случае $C_{6-1}^{3-1}=C_5^2=10$, что совпадает с Вашим ответом.