Уравнение, приводящееся к однородному

[Nurzery[Rhymes]]

Проверьте, пожалуйста, мое решение диффура, который сводится к однородному. Меня преподаватель уже три раза посылал с аналогичными задачами, потому что я забыл, как ищется особое решение. Проверял то, что проверять не нужно. Почему-то во всем интернете и даже в учебниках особые решения не находят (и нигде не показано, как это делать), а дают в ответе общее. Но нас заставляют искать ВСЕ решения.

$y'=\frac{2x+y-3}{4x-4}$
Это уравнение приводится к однородному заменой:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=\xi + 1& \\ &y=\eta + 1& \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\xi=x-1& \\ &\eta=y-1& \\ \end{array} \right.$

$\frac{d\eta}{d\xi}=\frac{2(\xi +1) + \eta + 1 -3}{4(\xi + 1) -4}$

Получили однородное уравнение, которое мы легко можем решить:
Замена $\eta = t\xi, \eta ' =t'\xi + t$

$t'\xi + t=\frac{2\xi + t\xi}{4\xi}$

Сокращаем правую часть на $\xi$. И вот тут первый вопрос: $\xi$ не должно быть нулем. Надо ли проверять, что оно является или не является решением? Почему?

$t'\xi + t=\frac{2+t}{4}$

$\frac{dt}{d\xi}\xi = \frac{2-3t}{4}|:dt$

Интегрируем уравнение:
$\frac{d\xi}{\xi}=\frac{4}{2-3t}dt$
Здесь мы перевернули дробь, поэтому надо проверить, не является ли решение уравнения $2-3t=0$ решением исходного уравнения. Получили:

$2-3t=2-3\frac{\eta}{\xi}=0$

$3\frac{y-1}{x-1}=2$; $\frac{y-1}{x-1}=\frac{3}{2};y-1=\frac{2}{3}(x-1);y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}; y'=\frac{2}{3}$

Подставляем в исходное уравнение:

$\frac{2}{3}=\frac{2x+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}}{4x-4}=\frac{\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}}{4x-4}=\frac{8x+1}{12x-12}$

Это неверное равенство. Найденная функция не является решением.

Осталось проинтегрировать последнее уравнение: $\frac{d\xi}{\xi}=\frac{4}{2-3t}dt$

$\ln|\xi | = -\frac{4}{3}\ln(2-3t)+\ln C = \ln C - \ln(2-3t)^{-\frac{4}{3}}=$

$=\ln \frac{C}{\frac{1}{\sqrt[3]{(2-3t)^4}}}$

$\xi = C\sqrt[3]{(2-3t)^4}$

$x-1=C \sqrt[3]{(2-3)^4\frac{y-1}{x-1}}$

Мучительное решение закончилось. Правильно ли я нашел общее решение и определил, что никаких частных решений это уравнение не имеет? Как искать частные решения, на какие знаменатели надо обращать внимание, а на какие не надо?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #938104 писал(а):

И вот тут первый вопрос: $\xi$ не должно быть нулем. Надо ли проверять, что оно является или не является решением? Почему?

Ну, как сказать: надо проверять, но ответ очевиден.
Весь счет не проверяла, выражение

Nurzery[Rhymes] в сообщении #938104 писал(а):

$x-1=C \sqrt[3]{(2-3)^4\frac{y-1}{x-1}}$

$(2-3)^4$ умиляет.
Кстати, после первой замены довольно легко подбирается интегрирующий множитель.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #938126 писал(а):

Кстати, после первой замены довольно легко подбирается интегрирующий множитель.

Он всегда легко подбирается, или только в моей задаче?

[provincialka]

К вашей. Я ее решила.

-- 30.11.2014, 01:05 --

Ваш ответ почти верный, вы только при преобразовании логарифмов лишний "минус" оставили.

[Nurzery[Rhymes]]

Снова нужна помощь с этой задачей. Преподаватель просит, чтобы я указал частные решения этой задачи, но я их не вижу и выше я показал, что их нет. Решение в мейпле получилось таким:

$y(x)=\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} + C(x-1)^{\frac{1}{4}}$

Это $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$ и есть то решение, которое я проверял выше и которое при подстановке в исходное уравнение дает неверное равенство. Где я ошибся?

-- 17.12.2014, 20:01 --

Странно, в мейпле подставил эту функцию в исходное уравнение и командой simplify получил то самое $\frac{2}{3}$. Тогда почему у меня в первом посте не сошлось?

[provincialka]

Вы свободный член в числителе потеряли...

[Sinoid]

provincialka в сообщении #938126 писал(а):

и даже в учебниках особые решения не находят

Например, в многотомнике для втузов Пискунова немного об особых решениях написано, как их искать, может, поможет.

[provincialka]

Сбилась ссылка. Я этого не говорила.

[Nurzery[Rhymes]]

Sinoid в сообщении #948515 писал(а):

Например, в многотомнике для втузов Пискунова немного об особых решениях написано, как их искать, может, поможет.

Не знал об этом учебнике, сейчас поищу. Для себя я определил это так: где после замены многочлен оказывается в знаменателе, по корням этого многочлена ищем особые решения и обязательно их проверяем.
Кстати, я не понимаю, почему может произойти потеря решений, если какое-то выражение оказывается в знаменателе. Решениями оказываются корни этого многочлена. В школе это заставляли просто зубрить как данность, но сейчас я этого не понимаю.

-- 17.12.2014, 23:18 --

Какой замечательный учебник, однако. Надеюсь, там так же хорошо рассказывается о нелинейных системах и устойчивости решений этих систем.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes], хоть вы уберите мое имя из ссылки! Я этого не говорила.
Кроме того, разберитесь с понятиями: вы говорите о частных решениях, а Sinoid об особых. Вам какие нужны?
Если имеется в виду, что некоторые частные решения могут быть потеряны из-за неравносильности преобразований, то вы правы: когда на что-то делим, надо проверить, не может ли это что-то обратиться в 0.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #948539 писал(а):

Если имеется в виду, что некоторые частные решения могут быть потеряны из-за неравносильности преобразований, то вы правы: когда на что-то делим, надо проверить, не может ли это что-то обратиться в 0.

Когда на что-то делим обычное алгебраическое уравнение, то понятно, почему могут пропасть некоторые решения. Мы уменьшили исходное уравнение, исключили из него какой-то множитель, сократили, а этот множитель мог дать какой-то корень. Но в этих уравнениях мы ничего не сокращаем, мы просто переворачиваем дробь и интегрируем ее. Особое решение получаем с помощью функции, которая оказывается в знаменателе.

-- 17.12.2014, 23:30 --

Цитата:

Кроме того, разберитесь с понятиями: вы говорите о частных решениях, а Sinoid об особых. Вам какие нужны?

Я понял так: частное решение - это решение, полученное из общего. Особое решение это решение, которое никак нельзя получить из общего. Преподаватель просит найти особое. Те решения, которые я ищу, могут как быть особыми, так и получаться из общего, бывает по-разному.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #948546 писал(а):

Особое решение это решение, которое никак нельзя получить из общего.

Нет, не совсем так. Это не главное его свойство, не определение. Смысл понятия "особое решение" другой. Это решение, в каждой точке которого нарушается единственность. То есть оно является огибающей других решений.

А единственность может нарушиться там, где не выполняются условия соответствующей теоремы.