Производная Фреше

[cool.phenon]

Уже много раз сталкивался с тем, что при поиске производной Фреше

$$F(x+h)-F(x)=A(x)h+w(x,h) $$

выражение $F(x+h)-F(x)$ далеко не всегда представимо в виде $A(x)h+w(x,h)$ (например, когда оператор интегральный). В методичках хитрят, и вместо производной Фреше оставляют дифференциал Фреше. А существует ли какой-то общий способ, как от дифференциала Фреше перейти к производной Фреше?

[ewert]

cool.phenon в сообщении #938056 писал(а):

А существует ли какой-то общий способ, как от дифференциала Фреше перейти к производной Фреше?

А это одно и то же -- с точностью до терминологии. Дифференциал -- это не более чем производная на "пробном" векторе.

[cool.phenon]

ewert
То есть, $A(x,h)$? А равноправно ли это, применять $A(x,h)$ вместо $A(x)h$ в различных задачах? (вопрос наверное дурной, но всё же, не из за одной терминологии же дело)

[ewert]

cool.phenon в сообщении #938089 писал(а):

А равноправно ли это, применять $A(x,h)$ вместо $A(x)h$ в различных задачах? (вопрос наверное дурной

Именно что дурной. Равноправно ли применять $2\cdot2=4$ вместо $2\times2=4$ или вместо $2\text{жды}2=4$?...

[cool.phenon]

ewert
Я понял, в чём была проблема, просто иногда $A(x,h)=A(x)\cdot h$ (но не всегда), а $A(x,h)$ первоначально.

[Sicker]

почему? может быть просто надо хитро подобрать умножение? Да и определить, что за зверь $A(x)$

-- 30.11.2014, 00:37 --

линейный оператор($A(x,h)$) умножить на вектор $h$ не пойдет?

[cool.phenon]

Опять же, когда оператор какой-нибудь бесконечномерный, там так просто не выйдет, например, $h$ будет под оператором, его не вытащить. А в алгебру с другими умножениями не нужно лезть, это ж функан, здесь всё стандартно.

[Sicker]

как это не вытащить? $A$ же линейно по $h$?

[Otta]

Sicker
$\int_0^1x(t)h(t)\,dt$. Вытаскивайте.

[Sicker]

$A$$\cdot h$
Вытащил

[Otta]

Кто такой $A$, который нужно умножить на $h$?

[Sicker]

$A$ линейный оператор $\int_0^1x(t)h(t)\,dt$

-- 30.11.2014, 00:53 --

значение линейного оператора на векторе обозначается как умножение этого оператора на вектор

[Otta]

То есть Вы теперь потихоньку отыгрываете обратно. Окей.

[Sicker]

аась? вы о чем?

-- 30.11.2014, 00:58 --

просто в определении производной фреше никакого обычного умножения нет, а есть только, в обозначениях ТСа, $A(x,h)$
это есть в той же вики

[Otta]

Sicker в сообщении #938132 писал(а):

почему? может быть просто надо хитро подобрать умножение? Да и определить, что за зверь $A(x)$

Об этом.
Достаточно, Вы меня прекрасно поняли, я Вас тоже.

-- 30.11.2014, 03:00 --

Sicker в сообщении #938147 писал(а):

просто в определении производной фреше никакого обычного умножения нет,

Да, правильно, и не должно быть.