Предел последовательности (периодическая дробь?)

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть задачка: найти предел последовательности:

$$0.7, \quad 0.76, \quad 0.766, \quad 0.7666, \quad ...$$

Такое задание вижу впервые, в интернете подобных найти не могу, поэтому смею спросить, как вообще тут быть?

PS. Я нашел, что $\frac{23}{30} = 0.76(6)$, но это жульничество

UPD: Я даже нашел, что $0.76(6) = \frac{766-76}{900} = \frac{23}{30}$, но алгоритм решения исходного примера все равно непонятен.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #937995 писал(а):

PS. Я нашел, что $\frac{23}{30} = 0.76(6)$, но это жульничество

Почему? Это как раз ответ. Разве что переписать в виде $0,7(6)$ - зачем одну шестерку перед циклом оставлять. А как вы нашли число $\frac{23}{30}$? Тут-то и собака порылась!

[Otta]

Limit79
Ну хотите, распишите как последовательность частичных сумм ряда.

[Limit79]

provincialka
Жульничество было потому, что сначала это число нашел не я, а компьютер, но потом нашел и я.

Но как доказать, что данное число будет пределом данной последовательности?

[provincialka]

Как предложила Otta, как сумму ряда. Какой это будет ряд? Его даже в школе проходят.

[Limit79]

Otta
provincialka

$$0.7 + 0.06 + 0.006 + ... = 0.7 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^{n+1}}$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^{n+1}} = \frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + ...$$

Это геометрическая прогрессия, сумма которой

$$S = \frac{1}{15}$$

и

$$0.7 + \frac{1}{15} = \frac{23}{20}$$

Но как это все связать с искомым пределом?

-- 29.11.2014, 22:29 --

Общий член исходной последовательности будет

$$x_{n} = 0.7 + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{6}{10^{k+1}}$$

и предел последовательности

$$\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n}) = \lim\limits_{n \to \infty} \left ( 0.7 + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{6}{10^{k+1}} \right ) = 0.7 + S = 0.7 + \frac{1}{15} = \frac{23}{30}$$

[provincialka]

Все верно! Сумма ряда есть предел его частичных сумм.

[Limit79]

provincialka
Otta
Благодарю Вас!

[cool.phenon]

Таких задач я тоже не встречал, пока не увидел 4 месяца назад на американском форуме задачу: найти сумму ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^{n+2}}, $$

где $a_n$ -- $n$-ая цифра числа $\pi$

[provincialka]

(Задорнов)

Задорнов, не к ночи будь помянут, вспоминается... , ой, [...] эти американцы, ой, [...]

[Slow]

Если $\frac{1}{10^3}$ вынести, то что получится?

[Joe Black]

Slow в сообщении #938177 писал(а):

Если $\frac{1}{10^3}$ вынести, то что получится?

И что же получится?

[Slow]

Ну так $\frac{\pi}{10^3}$ вроде бы.