2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти форму тела
Сообщение28.11.2014, 19:25 
Аватара пользователя
Эту задачу придумали мои одногруппники, они призеры IPhO 2014. Ну может не придумали, а взяли где- то. Итак:
"Представить себя богом. Имеется большой кусок пластилина объемом $V$ постоянной плотности. Найти форму, которую нужно придать пластилину, чтобы в некоторой точке получить максимально возможную напряженность гравитационного поля, и значение этой напряженности".

-- 28.11.2014, 18:26 --

Лично я вообще не знаю, как её решать :-)

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение28.11.2014, 19:47 
Несколько одногруппников межнаров. Физтех чтоль?
По поводу задачки, выберем точку и некоторое направление вектора напряженности. Думаю, можно сначала найти геометрическое место точек, такое, что если поместить в любую из этих точек единичную массу, проекция вектора напряженности поля от этой массы в выбранной нами вначале точке на выбранное нами направление постоянно. А потом немного подумать о связи формы тела и этого геометрического места точек.

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение28.11.2014, 19:48 
Аватара пользователя
12d3 в сообщении #937521 писал(а):
Физтех чтоль?.

БГУ физфак

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение29.11.2014, 00:46 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #937507 писал(а):
Лично я вообще не знаю, как её решать :-)

Вариационными методами :-)

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение29.11.2014, 09:32 
Это не оригинальная задача, очень похожую задачу я видел когда-то на одном из форумов, там только Бог не упоминался и было доп. условие на эту некоторую точку, что она принадлежит поверхности этого "формоискомого" тела. Подробностей не помню и было ли там решение?, но по ассоциации в голове крутится мысль, что вроде надо доказывать что форма есть выпуклое тело вращения с осью симметрии проходящей через эту точку, а потом... нет больше мыслей...

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение29.11.2014, 11:32 
Полностью вариации разворачивать не хочется.
Вот такой подход, слегка на грани фола. Прежде всего ясно, что это тело вращения.
Пусть его огибающая в полярных координатах имеет уравнение$$r=r(\theta)$$
Здесь угол откладывается от оси вращения. Точечная пробная масса находится в верхней точке.
Далее идёт такое соображение. Коли тело имеет оптимальную форму, то, видимо, маленький кусочек,
отщипнутый из любой точки его поверхности и произвольно перемещаемый по ней, будет обеспечивать неизменную
вертикальную проекцию силы притяжения этого кусочка к пробной массе; то есть выполняется равенство$$\frac{\cos(\theta)}{r^2(\theta)}=\operatorname{const}$$Ну и отсюда получаем$$r(\theta)=C\sqrt{\cos(\theta)}$$

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение29.11.2014, 22:49 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #937643 писал(а):
fronnya в сообщении #937507 писал(а):
Лично я вообще не знаю, как её решать :-)

Вариационными методами :-)

Ой, все)
Одногруппники мои, хоть и первый курс, но уже решают олимпиады по теор. механике, толковые ребята.

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение04.12.2014, 21:19 
Аватара пользователя
"Квант" (№10, 1987).

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение04.12.2014, 22:32 
Спасибо, Утундрий. Теперь я уверен, что не ошибся). Но, в отличие от авторов статьи,
мне показалось, что эта тыква как раз мало отличается от шара. Да и сила притяжения, после всех интегрирований,
менее чем на 3% превосходит ту, что у шара.

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение04.12.2014, 22:53 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #940412 писал(а):
в отличие от авторов статьи,
мне показалось, что эта тыква как раз мало отличается от шара.
Ну, для Земли сие $0,855$ означает провал $\sim 920$ км.

P.S. Кстати, интересно было бы посмотреть - как будет заливать это тело вода?

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение04.12.2014, 23:52 
Скорее всего, эквипотенциальные поверхности удобнее в тех же полярных координатах выражать.

 
 
 
 Re: Найти форму тела
Сообщение05.12.2014, 07:20 
Maximal gravity

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group