Задача двух тел

[Reikjavic]

Две звезды с массами M1 и М2 движутся по окружностям вокруг общего центра масс. У звезды массы M1 в результате сферически-симметричного взрыва сбрасывается внешняя оболочка массы qM которая расширяясь быстро уходит за пределы двойной системы. При каком значении q двойная система перестанет быть связанной гравитационными силами?

Решал, получил странный ответ $ \frac{М_2 - М_1}{М_2} $... Записал разность полной кинетической энергии системы и потенциальной, при этом от V1 и V2 соответствующих каждой звезде отнял скорость центра масс, которая равна $ \frac{M_1V_1 + M_2 V_2}{M_1 + M_2}$ - $ \frac{M_1V_1 + M_2(1-q)V_2}{M_1 + M_2(1-q)}$

В чем подвох?\

И еще. Не могу понять вот чего. Если решать обычную задачу звезда-планета, при взрыве оболочки звезды центр масс не двигается, и задача решается просто, ответ не зависит от массы звезд. Т.е. суммарный импульс в системе не меняется. Получается, в задаче двойной звезды надо учитывать только измененный импульса. Но! Если делать так и составлять разность, получается какая-то белиберда длинной на полстраницы... Подскажите, верно ли направление?

[DimaM]

Явно учитывать скорость центра масс - громоздко, трудно не запутаться. Гораздо легче записать кинетическую энергию в системе центра масс (выражается через приведенную массу и относительную скорость). При сбросе оболочки относительная скорость сохраняется, приведенная масса меняется. Потенциальная энергия тоже меняется, суммарная должна стать нулевой.

[Reikjavic]

DimaM в сообщении #937272 писал(а):

Гораздо легче записать кинетическую энергию в системе центра масс (выражается через приведенную массу и относительную скорость)

Поподробнее, пожалуйста. А то мне кажется, что это то же, что я и делал...

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937274 писал(а):

Поподробнее, пожалуйста. А то мне кажется, что это то же, что я и делал...

Начнем с простого: массы $m_1$ и $m_2$ имеют скорости ${\bf v}_1$ и ${\bf v}_2$. Чему равна суммарная кинетическая энергия в системе центра масс?

[Reikjavic]

$ \frac{M_2(V_2 - V_cent)^2}{2}$, $ \frac{M_1(V_1 - V_cent)^2}{2}$

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937276 писал(а):

$ \frac{M_2(V_2 - V_cent)^2}{2}$, $ \frac{M_1(V_1 - V_cent)^2}{2}$

Выразите $V_{cent}$, подставьте, упростите. (Если в нижнем или верхнем индексе больше одной буквы, надо заключать в фигурные скобки, дроби нормальных размеров делаются с помощью \dfrac.)

[Reikjavic]

DimaM в сообщении #937277 писал(а):

Reikjavic в сообщении #937276 писал(а):

$ \frac{M_2(V_2 - V_cent)^2}{2}$, $ \frac{M_1(V_1 - V_cent)^2}{2}$

Выразите $V_{cent}$, подставьте, упростите. (Если в нижнем или верхнем индексе больше одной буквы, надо заключать в фигурные скобки, дроби нормальных размеров делаются с помощью \dfrac.)

Проблема в том, что сама по себе скорость центра масс получается огромной при перобразованиях. Это и смущает.
Спасибо.

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937280 писал(а):

Проблема в том, что сама по себе скорость центра масс получается огромной при перобразованиях. Это и смущает.

Чего там огромного, для двух тел-то?
Ну напишите отдельно скорость центра масс для моего примера. Пусть, для еще большей простоты, $v_2=0$.

[Reikjavic]

Итого уравнение получается:
$ \frac{(1-q)M_1(V_1 - V_{cent})^2}{2}$ + $ \frac{M_2(V_2 - V_{cent})^2}{2}$ - $ \frac{G M_2 M_1(1-q)}{R_2+R_2}$ < 0

Где $ V_{cent}$ = $ \frac{M_2 V_2 - M_1 V_2}{M_1 + M_2}$ - $ \frac{M_2 V_2 - M_1 V_1(1-q)}{M_2 - M_1(1-q)}$

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937284 писал(а):

Итого уравнение получается

Это слишком сложно. Напишите для моего примера, потом увидим, как применить.

[Reikjavic]

DimaM в сообщении #937282 писал(а):

Ну напишите отдельно скорость центра масс для моего примера. Пусть, для еще большей простоты, $v_2=0$.

$\frac{M_1 V_1}{M_1+ M_2}$

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937288 писал(а):

$\frac{M_1 V_1}{M_1+ M_2}$

Теперь запишите суммарную кинетическую энергию в системе центра масс.

[Reikjavic]

DimaM в сообщении #937286 писал(а):

Reikjavic в сообщении #937284 писал(а):

Итого уравнение получается

Это слишком сложно. Напишите для моего примера, потом увидим, как применить.

И еще, пожалуйста, скажите, правильно ли само уравнение написано?

[DimaM]

Reikjavic в сообщении #937290 писал(а):

И еще, пожалуйста, скажите, правильно ли само уравнение написано?

В первом знак неверный, в остальном правдоподобно. Во втором $V_1$ и $V_2$ между собой связаны (удобно считать, что до взрыва центр масс стоит на месте). Но решать такое вручную я бы не взялся - слишком громоздко.
Я пытаюсь вас подвести к простому способу решения. Если не хотите - не буду.

-- 28.11.2014, 12:48 --

Кстати, в исходной системе суммарная кинетическая энергия в системе центра масс очень просто связана с кинетической.

[Reikjavic]

DimaM в сообщении #937289 писал(а):

Reikjavic в сообщении #937288 писал(а):

$\frac{M_1 V_1}{M_1+ M_2}$

Теперь запишите суммарную кинетическую энергию в системе центра масс.

$\frac{M_i(\frac{V_i(M_1 + M_2) - M_1 V_1}{M_1+M_2}})^2{2}$