Сходимость числовой последовательности и её предел.

[Viktor92]

ИСН в сообщении #937070 писал(а):

Да понятно, что 1. И понятно, что Вы имели в виду. Но разве Вы это доказали?

Но ведь выражение $x_{n+1}<\sqrt{9+\epsilon}$ верно, т.е. для любого наперёд заданного $\epsilon$, найдём такой член $x_n$, начиная с которого будет выполняться $\left|x_n-3 \right|<\epsilon$ , т.е. 3 является пределом по определению.

provincialka писал(а):

Ну! И!? Что станет с рекуррентным равенством, если перейти к пределу в левой и правой части?

Спасибо, понял! Получаем квадратное уравнение, из которого находим наш предел.

[Slow]

Viktor92 в сообщении #937040 писал(а):

Вот так вроде можно доказать, что 3 есть предел последовательности. Выразим $x_n$ таким образом:
$x_n=(x_{n+1})^2-6$, теперь из определения предела $(x_{n+1})^2-6-3<\epsilon$ (модуль опустили), после преобразований $x_{n+1}<\sqrt{9+\epsilon}$, т.е. начиная с члена $x_{n+1}$ все последующие лежат в $\epsilon \text {-окрестности}$ точки 3.

То есть вы доказали что предел равен $3$ воспользовавшись тем что предел равен $3$?

[provincialka]

Viktor92 в сообщении #937091 писал(а):

Получаем квадратное уравнение, из которого находим наш предел.

Находим-то находим. Но уверенности не приобретаем. А вдруг нет его? Или, скажем, бесконечности равен. Бесконечность-то тоже "удовлетворяет" уравнению.

[ИСН]

Viktor92 в сообщении #937091 писал(а):

т.е. для любого наперёд заданного $\epsilon$, найдём такой член $x_n$, начиная с которого будет выполняться $\left|x_n-3 \right|<\epsilon$

...в предположении, что таковой найдётся. А если нет? (На самом деле да, но Вы этого на тот момент не доказали!)

[Viktor92]

ИСН в сообщении #937101 писал(а):

...в предположении, что таковой найдётся. А если нет? (На самом деле да, но Вы этого на тот момент не доказали!)

Т.е. как вы и говорили, сначала доказываем монотонность, ограниченность,а значит сходимость, т.е. существование предела, а лишь затем то, что я написал и тогда доказательство будет полным?

[ИСН]

Да, так.

[Slow]

ИСН в сообщении #937105 писал(а):

Да, так.

Это если под

Viktor92 в сообщении #937104 писал(а):

то, что я написал

имеется ввиду

Цитата:

Спасибо, понял! Получаем квадратное уравнение, из которого находим наш предел.

, а не

Viktor92 в сообщении #937040 писал(а):

Вот так вроде можно доказать, что 3 есть предел последовательности. Выразим $x_n$ таким образом:
$x_n=(x_{n+1})^2-6$, теперь из определения предела $(x_{n+1})^2-6-3<\epsilon$ (модуль опустили), после преобразований $x_{n+1}<\sqrt{9+\epsilon}$, т.е. начиная с члена $x_{n+1}$ все последующие лежат в $\epsilon \text {-окрестности}$ точки 3.

[provincialka]

Только здесь есть забавная закавыка. То, что вы нашли "предположительный" предел поможет вам доказывать ограниченность.

[Viktor92]

Slow в сообщении #937112 писал(а):

а не

А что в этом "доказательстве" не так? Есть же подобные задания, когда уже известен предел и требуется доказать, что он является пределом данной последовательности (пусть она задана например формулой n-го члена), и в учебниках которые я видел везде доказывается подобным образом, т.е. по определению предела.

[arseniiv]

(Кстати, а если посмотреть на поведение последовательностей с разными $x_1$? Одни возрастают, другие убывают, и друг друга при кое-каких условиях ограничивают.)

[Slow]

Viktor92 в сообщении #937143 писал(а):

Slow в сообщении #937112 писал(а):

а не

А что в этом "доказательстве" не так? Есть же подобные задания, когда уже известен предел и требуется доказать, что он является пределом данной последовательности (пусть она задана например формулой n-го члена), и в учебниках которые я видел везде доказывается подобным образом, т.е. по определению предела.

А если я возьму вместо тройки двойку, то получится что предел равен двойке. Интересно почему?

[Viktor92]

Вы правы, я просто грубо говоря подогнал результаты, тогда непонятно, как проверить/доказать, что пределом является 3.

[ИСН]

1. Монотонность
2. Ограниченность
3. Действия по нахождению предела, опирающиеся на тот факт, что он хотя бы "где-то есть".

[Slow]

Вам осталось то проверить ограниченность, а, как вам уже сказали, то, что вы предполагаете что предел равен трем вам может помочь.