Предел и ряд с двойным факториалом

[Nurzery[Rhymes]]

Уже несколько дней не могу решить эту задачу и даже не знаю, что идет не так после сокращения двойных факториалов. Условие: доказать справедливость равенства. Ответом служит число, получаемое при применении признака Даламбера или Коши.

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2n+1)!!}{n^n}=0$
Двойной факториал нечетного числа - это произведение всех нечетных чисел от 1 до этого числа включительно.
Я воспользовался признаком Даламбера:

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2(n+1)+1)!!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(2n+1)!!}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2n+3)!!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(2n+1)!!}=$

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2n+1)!!\cdot (2n+3)}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(2n+1)!!}$

Двойные факториалы сокращаются, остается:

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2n+3)\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(2n+3)\cdot n^n}{(n+1)(n+1)^n}$

Я вижу здесь замечательный предел для числа $e$, если разделить этот предел на произведение двух пределов, но это мне ничего не дает, потому что предел все равно будет бесконечен.

Доказать равенство хочу так: если ряд сходится, то предел общего члена равен нулю.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936949 писал(а):

Я вижу здесь замечательный предел для числа $e$,

И не останавливаться надо, когда видишь, а продолжать.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #936950 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936949 писал(а):

Я вижу здесь замечательный предел для числа $e$,

И не останавливаться надо, когда видишь, а продолжать.

Серьезно? Там будет 2 умножить на $\frac{1}{e}$ или что-то вроде того. А мейпл мне подсказывает, что предел будет бесконечен.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936952 писал(а):

Там будет 2 умножить на $\frac{1}{e}$ или что-то вроде того.

Ну и?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #936954 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936952 писал(а):

Там будет 2 умножить на $\frac{1}{e}$ или что-то вроде того.

Ну и?

О, действительно, если и правда так, то ряд сходится. Но на компьютере предел бесконечен. Сейчас посчитаю вручную.

[Otta]

Maplом тоже надо уметь пользоваться. Один из вариантов возникновения ошибки: введен факториал факториала вместо того, что надо было.