неупорядоченные разбиения

[12d3]

Давайте вместе считать. Значения $F_1$ у нас могут быть ноль либо единица. Когда ноль, нас не особо интересует, ибо сколько их не складывай, ноль и получишь. А интересуют те, когда единица. $F_1(n_1,k)=1$ при $k \ge n_1 \ge 0$. Теперь, при подсчете $F_2$ вместо $(n_1,k)$ надо подставить $(n_1-2c,k-c)$. Составим условие, когда $F_1$ будет единица: $k-c \ge n_1-2c \ge 0 \Leftrightarrow \left[\frac{n_1}{2}\right] \ge c \ge n_1-k$. Также у нас есть условие неотрицательности $c \ge 0$.
Фактически, для подсчета $F_2$ вам нужно подсчитать количество различных целых $c$, удовлетворяющих этим неравенствам.
Рассмотрите два случая: $n_1-k > 0$ и $n_1-k \le 0$.

[Ward]

В случае $n_1-k>0$ таких $c$ всего $\left[\frac{n_1}{2}\right]-n_1+k+1$
В случае $n_1-k\leqslant 0$ таких $c$ всего $\left[\frac{n_1}{2}\right]+1$
Вроде так получилось у меня

[12d3]

Немного аккуратнее. Что будет, если $n_1=100,\,\,k=10$?

[Ward]

Я еще раз подумал, причем аккуратно и получил это:
Если $n_1-k\leqslant 0$ тогда количество таких $c$ равно $\left[\frac{n_1}{2}\right]+1$ (так как нас интересуют неотрицательные c)
Если $n_1-k>0$ и $\left[\frac{n_1}{2}\right]\geqslant n_1-k$ тогда количество таких $c$ равно $\left[\frac{n_1}{2}\right]+1+k-n_1$
Если $n_1-k>0$ и $\left[\frac{n_1}{2}\right]< n_1-k$ тогда количество таких $c$ равно нулю

Думаю, что больше других вариантов быть не может

[Ward]

Уважаемый 12d3
Скажите пожалуйста я правильно ответил на поставленный Вами вопрос?
И как дальше действовать?

[Whitaker]

Я тут вроде подумал (если конечно не ошибся), то тут можно сделать попроще, а именно так:
Рассмотрим диаграммы Юнга веса $n\in [1,26]$, где количество строк и столбцов равно соответственно 7 и 4.
Общее количество таких диаграмм равно $C_{7+4}^{4}$, но еще надо отнять единичку так как нас не интересует пустая диаграмма. Итого получаем $C_{11}^{4}-1$. Также надо еще отнять диаграммы веса 28 и 27 с заданными условиями, а таких ровно по одной штуке.
Итого получаем: $C_{11}^{4}-1-1-1=327$

[12d3]

Продолжаем.
Итак, мы получили явное выражение (после совсем маленького преобразования) $F_2(n_1,k)=\begin{cases}\left[ \frac{n_1}{2}\right]+1,& 0 \le n_1 \le k \\ \left[\frac{n_1}{2}\right] -n_1+k+1,&0 \le k <n_1 \le 2k\\0,&other\,cases\end{cases}$
Теперь пусть у нас есть игреки, равные трем, и их ровно $d$ штук. На остальные числа остается сумма $n_1-3d$ и их количество равно $k-d$. Тогда $F_3(n_1,k)=\sum \limits_{d \ge 0} F_2(n_1-3d,k-d)$. Нас интересуют два случая.
Случай 1: $0 \le n_1-3d \le k-d \Leftrightarrow \left[\frac{n_1}{3}\right] \ge d \ge \lceil\frac{n_1-k}{2}\rceil$. Этот случай соответствует первому варианту в выражении для функции $F_2$.