Гомоморфизм редукции

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите разобраться, о чем говорится в этом определении и что представляет из себя такой гомоморфизм.

Пусть $\sigma:A \to B$ - гомоморфизм колец

Рассмотрим многочлен $f=\sum\limits_{}^{}\alpha_{\nu_1..\nu_n}{X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ из алгебры $A[X_1,...,X_n]$

$f^\sigma=\sum\limits_{}^{}\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n}){X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ $\in B[X_1,...,X_n]$

$\varphi^\sigma: A[X_1,...,X_n] \to B[X_1,...,X_n]$

$f \mapsto f^\sigma$

$\varphi^\sigma$ - гомоморфизм редукции

На практике этот гомоморфизм применяли так: коэффициенты многочлена над одним полем рассматривали над меньшим полем, при этом коэффициенты становились меньше или обнулялись.

[nnosipov]

Вот простой пример (наверное, он и был приведён). Был многочлен с целыми коэффициентами. Его коэффициенты заменили остатками от деления на некое натуральное $m$. То, что такое отображение есть гомоморфизм (в частности, откуда и куда он), более-менее понятно. Или нет? Если нет, то нужно поработать с определением гомоморфизма (побольше и поразнообразнее примеров рассмотреть).

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #936192 писал(а):

Вот простой пример (наверное, он и был приведён). Был многочлен с целыми коэффициентами. Его коэффициенты заменили остатками от деления на некое натуральное $m$. То, что такое отображение есть гомоморфизм (в частности, откуда и куда он), более-менее понятно. Или нет? Если нет, то нужно поработать с определением гомоморфизма (побольше и поразнообразнее примеров рассмотреть).

Я все равно не понимаю, какую информацию несет определение. Любое определение должно быть таким, чтобы взглянул на него, и сразу понятно, как этот гомоморфизм преобразует данный многочлен. Но без примера про рассмотрение коэффициентов данного многочлена над другим полем это понять сложно.

Если $\sigma$ - гомоморфизм колец, то как понимать запись "многочлен в степени гомоморфизм $\sigma$" - $f^\sigma$?

Что такое "сигма от коэффициентов многочлена" - $\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n})$? Как это отображение преобразует их? Или именно в этом месте находится ключевая идея редукции, которая заключается в приведении коэффициентов по модулю над другим кольцом?

Что такое "фи в степени сигма" $\varphi^\sigma$? Или это просто такое обозначение и не стоит так буквально понимать это как степень?

[AV_77]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936425 писал(а):

Если $\sigma$ - гомоморфизм колец, то как понимать запись "многочлен в степени гомоморфизм $\sigma$" - $f^\sigma$?

$f^{\sigma}$ - образ многочлена $f$ при гомоморфизме $\sigma$. Это довольно стандартное обозначение.

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

$f^\sigma=\sum\limits_{}^{}\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n}){X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ $\in B[X_1,...,X_n]$

Правильно ли я понимаю, что гомоморфизм $\sigma: A \to B$ действует на коэффициенты многочлена и ставит в соответствие коэффициенту из $A$ некоторый элемент из $B?$ Но если так, тогда гомоморфизм редукции неоднозначный и может быть каким угодно, а не только приведением коэффициентов данного многочлена по модулю. Например, мы можем сопоставить каждому коэффициенту его след или норму, это тоже будет редукция?

[AV_77]

В общем случае гомоморфизмов $A \to B$ может быть много. Только ни норма, ни след гомоморфизмами колец не являются.