Вопрос про ротор и дивергенцию

[provincialka]

Вообще-то и ротор, и дивергенция - это "последствия" внешнего дифференцирования, ассоциированные с векторами (векторными полями) за счет структуры трехмерного пространства. Ну, а второй внешний дифференциал равен 0.

Впрочем, что-то может "произойти" за счет перехода от внешней формы к вектору (по сути ведь это - применение некоторого оператора. А вдруг он непостоянный). Это надо додумать повнимательнее.

[Munin]

provincialka в сообщении #935481 писал(а):

Вообще-то и ротор, и дивергенция - это "последствия" внешнего дифференцирования, ассоциированные с векторами (векторными полями) за счет структуры трехмерного пространства. Ну, а второй внешний дифференциал равен 0.

Если так обобщать, тогда да. А я имел в виду банально что-то типа $\partial_{[i}\partial_j T_{k]j}.$ Внешней форме это никакой не соответствует.

[provincialka]

Munin в сообщении #935727 писал(а):

$\partial_{[i}\partial_j T_{k]j}.$

А разве после антикоммутирования (извините за терминологию, подзабыла) результат не обнулится? Смешанные производные-то не зависят от порядка.

[Munin]

А про $T_{ij}$ не сказано, что он антисимметрический. Это просто тензор. В этом и отличие от внешних форм.

[g______d]

Munin в сообщении #935727 писал(а):

что-то типа $\partial_{[i}\partial_j T_{k]j}.$

Результат будет тензором?

-- Пн, 24 ноя 2014 15:56:26 --

provincialka в сообщении #935481 писал(а):

Вообще-то и ротор, и дивергенция - это "последствия" внешнего дифференцирования, ассоциированные с векторами (векторными полями) за счет структуры трехмерного пространства. Ну, а второй внешний дифференциал равен 0.

Там еще оператор Ходжа где-то посередине (в дивергенции без него вообще не обойтись). Если периодически его впихивать, можно строить дифференциальные операторы любого порядка.

[Munin]

g______d в сообщении #935779 писал(а):

Результат будет тензором?

Ну а что, нет, что ли? И даже антисимметрическим. А это в 3-мерном пространстве можно сопоставить вектору, через звёздочку Ходжа.

g______d в сообщении #935779 писал(а):

Там еще оператор Ходжа где-то посередине (в дивергенции без него вообще не обойтись). Если периодически его впихивать, можно строить дифференциальные операторы любого порядка.

А, точно, забыл про это замечание.

[g______d]

Munin в сообщении #935781 писал(а):

Ну а что, нет, что ли?

Не очевидно. Разве вообще существуют дифференциальные операции, переводящие произвольные (не антисимметричные) тензоры в тензоры?

[Munin]

Кажется, мне надо переспросить, а что вы называете тензором.

[g______d]

Munin в сообщении #935786 писал(а):

Кажется, мне надо переспросить, а что вы называете тензором.

То же, что и все? В Ваших обозначениях, набор чисел, преобразующийся при гладких заменах координат по тензорному закону.

[Munin]

В таком случае да, это не тензор. Но взять-то можно :-)