Оба решения правильные и оба разные.
Я не на том заострил внимание. Есть методы частные, а есть (в некоторых ситуациях) - исчерпывающие, которые находят всё и закрывают вопрос. Вы понимаете, как отличить одни от других? Понимаете, что оба метода для Вашей системы - исчерпывающие?
Не совсем, но мне кажется, что оба метода исчерпывающие. Меня смущало наличие комплексных коэффициентов в системе в методе Эйлера, но и в способе сведения к одному уравнению тоже появляются комплексные числа, с помощью которых отыскиваются действительные решения. Так что зря я считал это странным. Сначала мне казалось, что метод Эйлера более общий, а в первом можно потерять решения.