Система дифференциальных уравнений

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите разобраться в решении систем диффуров методом исключения. Решаю такую систему:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=x+z-y& \\ &\dot{y}=x+y-z& \\ & \dot{z}=2x-y& \\ \end{array} \right.$

Я из второго уравнения выразил $x$: $x=\dot{y}-y+z$

Продифференцировал: $\dot{x}=\ddot{y}-\dot{y}+\dot{z}$

Хочу избавиться от $\ddot{y}$: $\ddot{y}=\dot{x}+\dot{y}-\dot{z}$

Подставляю выражение для $\ddot{y}$ в $\dot{x}=\ddot{y}-\dot{y}+\dot{z}$:

$\dot{x}=(\dot{x}+\dot{y}-\dot{z})-(x+y-z)-(2x-y)$

$0=\dot{y}-\dot{z}-3x-z$, или $\dot{y}-\dot{z}-3x-z=0$

Подставляю вместо $\dot{z}$ то, чем оно является: $2x-y$

$\dot{y}-(2x-y)-3x-z=0$

$\dot{y}-5x+y-z=0$

И у меня ничего не получилось. Что я делаю не так? Когда в выражении $\dot{x}=\ddot{y}-\dot{y}+\dot{z}$ у меня получилось две производной от $y$ разных порядков, надо было дальше раскручивать это выражени каким-то образом, чтобы в нем остались одни производные игрека?

[Someone]

Вы не так делаете.
Дифференцируете первое уравнение, вместо $\dot x,\dot y,\dot z$ подставляете их выражения из системы, получаете выражение $\ddot x$ через $x,y,z$. Затем таким же способом выражаете $\dddot x$.
Из уравнений $\dot x=\ldots$ и $\ddot x=\ldots$ выражаете $y$ и $z$ и подставляете в уравнение $\dddot x=\ldots$.

[Nurzery[Rhymes]]

Проверьте, пожалуйста, мое решение. Не знаю, как решать эту систему после составления системы трех производных от $x$/

$\ddot{x}=\dot{x}+\dot{z}-\dot{y}$

Подставляю выражения каждой производной через три функции:
$\ddot{x}=x+z-y-x-y+z+2x-y$

$\ddot{x}=2x-3y+2z$

$\dddot{x}=2\dot{x}-3\dot{y}+2\dot{z}$

$\dddot{x}2x+2z-2y-3x-3y+3z+4x-2y$

$\dddot{x}=3x-7y+5z$

Составляю такую систему:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=x+z-y& \\ &\ddot{x}=2x-3y+2z& \\ &\dddot{x}=3x-7y+5z& \end{array} \right.$

А что делать дальше? Спрашивал это у преподавателя, и он ответил, что надо ее решать как обычную СЛАУ, выражая переменные $y$ и $z$ и подставляя их куда-то. Куда? В выражение третьей производной? Имеет ли значение, откуда выражать переменные? Можно ли выразить $y$ и $z$ из первого уравнения, или обязательно надо выразить одну переменную из первого уравнения, а вторую из второго, и все это подставить в третье? Я вообще правильно суть решения понимаю? Или надо делать так: выразили $y$ из первого уравнения и сразу подставили в два остальных. Потом выразили $z$ из второго уравнения, и подставили в третье, а уже третье решаем? Распишите этот момент.

И можно ли таким методом решить абсолютно любую систему, даже такую систему, которая по методу Эйлера решается жутким способом через составление СЛАУ с комплексными коэффициентами и кратными комплексными корнями характеристического многочлена матрицы? Какой из этих двух способов легче и предпочтительней?

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934866 писал(а):

Можно ли выразить $y$ и $z$ из первого уравнения, или обязательно надо выразить одну переменную из первого уравнения, а вторую из второго, и все это подставить в третье? Я вообще правильно суть решения понимаю? Или надо делать так: выразили $y$ из первого уравнения и сразу подставили в два остальных. Потом выразили $z$ из второго уравнения, и подставили в третье, а уже третье решаем?

Вам же это для себя, а не на продажу? Ну и сделайте эту систему разными способами. Посмотрите, чем отличаются результаты.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934866 писал(а):

И можно ли таким методом решить абсолютно любую систему, даже такую систему, которая по методу Эйлера решается жутким способом через составление СЛАУ с комплексными коэффициентами и кратными комплексными корнями характеристического многочлена матрицы?

Откуда вдруг взялись комплексные коэффициенты - этого я не понял, а про комплексные корни у меня для Вас есть пренеприятнейшая новость...

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

Вам же это для себя, а не на продажу? Ну и сделайте эту систему разными способами. Посмотрите, чем отличаются результаты.

Для себя мне не хочется совершать бесполезные действия и делать кучу ошибок только для того, чтобы выйти на верный алгоритм. Вот узнать правильный способ решения, понять его и запомнить - это хорошо. Учебная программа не позволяет ради развлечения ошибаться, проверять и перепроверять решение одного задания по-разному.

Цитата:

Откуда вдруг взялись комплексные коэффициенты - этого я не понял, а про комплексные корни у меня для Вас есть пренеприятнейшая новость...

О чем вы? Когда мы ищем собственные векторы матрицы во втором способе решения, могут быть комплексные корни характеристического многочлена, и в зависимости от того, кратные они или сопряженные, решение может быть проще, а может быть очень трудоемким. Комплексные корни мы подставляем в характеристическую матрицу и по ней составляем систему для поиска собственных векторов. Система будет с комплексными коэффициентами.

[ИСН]

Упражнение - это не развлечение, а способ сделать знание своим. Если я его Вам просто скажу, оно Вашим не станет. Впрочем, если угодно, извольте: верный алгоритм - это любой алгоритм, который даёт верный результат. Эти оба верные.

-- менее минуты назад --

Ах да, многочлен. Ну-с, когда Вы всё поисключали и остались с обыкновенным диффуром, его-то как решать?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934916 писал(а):

Учебная программа не позволяет ради развлечения ошибаться, проверять и перепроверять решение одного задания по-разному.

Какая у вас, однако, злая учебная программа.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #934923 писал(а):

Упражнение - это не развлечение, а способ сделать знание своим. Если я его Вам просто скажу, оно Вашим не станет. Впрочем, если угодно, извольте: верный алгоритм - это любой алгоритм, который даёт верный результат. Эти оба верные.

-- менее минуты назад --

Ах да, многочлен. Ну-с, когда Вы всё поисключали и остались с обыкновенным диффуром, его-то как решать?

Как линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами же? И корни его характеристического многочлена тоже могут оказаться комплексными, с помощью них надо найти фундаментальную систему решений и выделить действительную и мнимую части.

[Someone]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934866 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=x+z-y& \\ &\ddot{x}=2x-3y+2z& \\ &\dddot{x}=3x-7y+5z& \end{array} \right.$$

А что делать дальше? Спрашивал это у преподавателя, и он ответил, что надо ее решать как обычную СЛАУ, выражая переменные $y$ и $z$ и подставляя их куда-то. Куда? В выражение третьей производной?

Someone в сообщении #934342 писал(а):

Из уравнений $\dot x=\ldots$ и $\ddot x=\ldots$ выражаете $y$ и $z$ и подставляете в уравнение $\dddot x=\ldots$.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934866 писал(а):

Имеет ли значение, откуда выражать переменные? Можно ли выразить $y$ и $z$ из первого уравнения, или обязательно надо выразить одну переменную из первого уравнения, а вторую из второго, и все это подставить в третье? Я вообще правильно суть решения понимаю? Или надо делать так: выразили $y$ из первого уравнения и сразу подставили в два остальных. Потом выразили $z$ из второго уравнения, и подставили в третье, а уже третье решаем? Распишите этот момент.

Извините, Вы в школе никогда не решали системы уравнений? Выражаете из одного уравнения $y$, подставляете в два других; затем из одного уравнения, не содержащего $y$, выражаете $z$ и подставляете в оставшееся.

[ИСН]

Someone, Вы не о том говорите. Вопрос был не от недостатка способов "как это сделать".

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934932 писал(а):

Как линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами же? И корни его характеристического многочлена тоже могут оказаться комплексными

Ага. И кстати: может ли быть, что там они комплексные, а здесь нет? Что там все решения на синусах-косинусах, а тут на экспонентах, и при этом оба правильные? Как думаете, бывает такое?

[Nurzery[Rhymes]]

Someone в сообщении #934937 писал(а):

Извините, Вы в школе никогда не решали системы уравнений? Выражаете из одного уравнения $y$, подставляете в два других; затем из одного уравнения, не содержащего $y$, выражаете $z$ и подставляете в оставшееся.

Я их только по методу Гаусса решал в последнее время и очень редко через определители. Даже в школе в последний год решали через определители. Здесь производные это как бы свободный член, а систему надо решить относительно переменных $x, y, z$?

Цитата:

Ага. И кстати: может ли быть, что там они комплексные, а здесь нет? Что там все решения на синусах-косинусах, а тут на экспонентах, и при этом оба правильные? Как думаете, бывает такое?

Мне кажется, что нет. Даже если действительные корни характеристического многочлена подставить в формулу тригонометрической записи комплексного числа, все равно получится экспонента. Или линейная комбинация экспонент может дать какую-нибудь гиперболическую функию?

[Aritaborian]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #935020 писал(а):

Или линейная комбинация экспонент может дать какую-нибудь гиперболическую функию?

А откуда ж они (гиперболические функции), по-вашему, берутся-то? Но ИСН, впрочем, не совсем об этом говорил.

[ИСН]

Линейная комбинация экспонент, конечно, может дать гиперболическую функцию, но при чём тут это? И при чём тут формула тригонометрической записи комплексного числа (какого вдруг числа, откуда)? Я говорю про решение диффура. Решение диффура - это функция (ну, несколько функций; неважно). Эта функция может содержать синусы/косинусы, а может не содержать. То же самое про экспоненты. И эта функция может быть найдена двумя способами.

-- менее минуты назад --

Так вот я и говорю: может ли быть, что при нахождении одним способом она содержит...

[Someone]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #935020 писал(а):

Я их только по методу Гаусса решал в последнее время и очень редко через определители. Даже в школе в последний год решали через определители. Здесь производные это как бы свободный член, а систему надо решить относительно переменных $x, y, z$?

Нужно взять систему

$$\begin{cases}\dot x=\ldots,\\ \ddot x=\ldots\end{cases}$$

и решить её относительно $y$ и $z$. Всё остальное ($x,\dot x,\ddot x$) нужно перенести в другую часть и рассматривать как свободный член. Решить можно любым способом, какой знаете. И подставить результат в уравнение

$$\dddot x=\ldots.$$

Я Вам это давно уже твержу.

ИСН в сообщении #934941 писал(а):

Вы не о том говорите.

К сожалению, о том.

ИСН в сообщении #934941 писал(а):

Вопрос был не от недостатка способов "как это сделать".

Похоже, при избытке способов человек не понимает, что именно нужно сделать. Или, возможно, ожидает какого-то откровения, и его пугает, что вместо откровения обнаруживается какой-то метод Гаусса или Крамера.

[Nurzery[Rhymes]]

Что-то у меня с решением этой систему всё плохо.
Выражаю $y$ из первого уравнения:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=x+z-\dot{x}& \\ &\ddot{x}=2x-3x-3z+3\dot{x}+2z=-x-z+3\dot{x}& \\ &\dddot{x}=3x-7x-7z+7\dot{x}+5z=-4x-2z+7\dot{x}& \end{array} \right.$

Выражаю $z$ из второго уравнения:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &y=x+z-\dot{x}& \\ &z=-x+3\dot{x}-\ddot{x}& \\ &\dddot{x}=-4x+2x-6\dot{x}+2\ddot{x}& \\ \end{array} \right.$

$\dddot{x}=-4x-6\dot{x}+2\ddot{x}$

$\dddot{x}-2\ddot{x}+6\dot{x}+2x=0$

Схема Горнера не дает корней характеристического многочлена, и они вообще выражаются в радикалах.

$\lambda^3-2\lambda^2+6\lambda+2=0$

-- 23.11.2014, 13:44 --

Цитата:

Ага. И кстати: может ли быть, что там они комплексные, а здесь нет? Что там все решения на синусах-косинусах, а тут на экспонентах, и при этом оба правильные? Как думаете, бывает такое?

Не знаю, в такой уродливой области математики как теория диффуров могу допустить все что угодно. Только в этом разделе, когда речь заходит о чем-то более сложном, чем уравнения третьего полугодия, повсюду слышно НИЧЕГО НЕ РЕШАЕТСЯ СЛИШКОМ СЛОЖНО РЕШЕНИЕ НЕВЫРАЗИМО В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ И КВАДРАТУРАХ, то есть даже записать ничего невозможно. Теория диффуров это просто набор методов и уловок, так что не удивлюсь, если одна уловка не дает всех решений, а их можно еще получить кучу каким-нибудь другим методом.

Цитата:

Похоже, при избытке способов человек не понимает, что именно нужно сделать. Или, возможно, ожидает какого-то откровения, и его пугает, что вместо откровения обнаруживается какой-то метод Гаусса или Крамера.

Все проще. Наш препод большинство вычислений проделывает в воображении и на доску пишет только суть, при этом у всех обнаруживаются пробелы в каких-то более фундаментальных знаниях, и если к нему не подходить с вопросами, то его это не волнует. А по тому, что можно законспектировать из его объяснений, разобраться в чем-то трудно без учебников.

Ну хотя бы обрадовало, что пример из лекций таким образом я решил. Может быть в условии ошибка? Подобные члены я привел правильно, проверял несколько раз...