целые расстояния

[grizzly]

scwec в сообщении #934784 писал(а):

Ничего не могу поделать.

Можно, например, посмотреть правильную формулировку в Вики.
В сети упомянутую выше неправильную формулировку тоже можно найти, но с этим, похоже, и правда ничего нельзя сделать.

scwec в сообщении #934748 писал(а):

Бесконечное множество здесь - неограниченное, не помещающееся внутри круга конечного радиуса.

А вопрос про существование всюду плотного на всей плоскости подмножества точек с попарно рациональными расстояниями всё ещё открыт.

[scwec]

Здесь нет никаких противоречий, но, возможно, есть недопонимание.
1. В теореме Эннинга-Эрдеша бесконечное множество на плоскости - это множество, не содержащееся в круге конечного радиуса. В нем, конечно, бесконечное число точек. Я выше это разъяснял. Если все расстояния между точками рациональны, то множество размещается на прямой линии. Если эти расстояния целые, то множество тем более лежит на прямой линии.
2. На окружности достаточно большого, но конечного целого радиуса, может содержаться какое угодно конечное количество точек (зависит от величины радиуса), все расстояния между которыми целые числа и бесконечное число точек, все расстояния между которыми рациональны . Множество этих точек не есть бесконечное множество в смысле теоремы Эннинга-Эрдеша, поскольку помещается в круге конечного радиуса.
3. Пункты 1. и 2. не противоречат друг другу.
Все это было уже выше сказано.
Надеюсь, вопрос на этом закрыт.

[grizzly]

scwec в сообщении #934819 писал(а):

Надеюсь, вопрос закрыт.

Нет, поскольку

grizzly в сообщении #934803 писал(а):

scwec в сообщении #934748 писал(а):

Бесконечное множество здесь - неограниченное, не помещающееся внутри круга конечного радиуса.

А вопрос про существование всюду плотного на всей плоскости подмножества точек с попарно рациональными расстояниями всё ещё открыт.

[Nemiroff]

scwec в сообщении #934819 писал(а):

В теореме Эннинга-Эрдеша бесконечное множество на плоскости - это множество, не содержащееся в круге конечного радиуса. В нем, конечно, бесконечное число точек. Я выше это разъяснял. Если все расстояния между точками рациональны, то множество размещается на прямой линии.

Противоречит вот этому

grizzly в сообщении #934803 писал(а):

вопрос про существование всюду плотного на всей плоскости подмножества точек с попарно рациональными расстояниями всё ещё открыт.

Второе, насколько я знаю, правда. С другой стороны, в связи с невозможностью плотно упаковывать (или хотя бы даже бесконечно) рациональные множества в алгебраические кривые…

scwec, у вас своё восприятие теоремы Эннинга-Эрдёша. Можете поделиться, откуда вы взяли его? И откуда взяли моду называть неограниченное множество бесконечным?

[scwec]

Имелся в виду вопрос рассматриваемой темы.
Нерешенных проблем, кроме упомянутой уже grizzly проблемы Улама, в этой области предостаточно.
Назову только проблему нахождения множества точек на плоскости, находящихся в общем положении с попарно рациональными расстояниями. Общее положение - никакие 3 точки не лежат на прямой и никакие 4 не лежат на окружности.
Лучший результат здесь - 7 точек. 6 точек продержались очень долго.
Nemiroff, я знаю, конечно, что в исходной теореме Эннинга-Эрдеша фигурируют целые расстояния и бесконечное множество в обычном смысле, но встречалась мне и другая трактовка (авторов не помню, к сожалению), которая, как мне показалось тогда, по сути верна.
Может быть, я напрасно дал ей имя Эннинга-Эрдеша, но к конечному результату по первоначальному вопросу темы это отношения не имеет.

[scwec]

Послесловие.
Теорема Эннинга-Эрдеша после замены в ее условии целых расстояний на рациональные и бесконечного множества на неограниченное, неверна.
Пример. Если $(x,y)$ декартовы координаты на плоскости, то множество $(1,0)\cup((x_n,y_n)=(0,\frac{n^2-1}{2n}))$, где $n$ все натуральные числа, удовлетворяет условиям измененной теоремы, но точки его не лежат на одной прямой.