целые расстояния

[rightways]

Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.

[ИСН]

"Боян, было год назад."
Это просто. Они будут на двух перпендикулярных прямых: одна - на пересечении, другая - на первой прямой, довольно далеко от пересечения, а все остальные - на второй. Насколько далеко? Возьмём первые 100500 пифагоровых треугольников и перемножим их меньшие катеты...

[hippie]

А давайте заменим условие "не лежащие все на одной прямой" на "никакие 3 из которых не лежат на одной прямой". Станет чуть-чуть (но только ЧУТЬ-ЧУТЬ ) интересней.

(Оффтоп)

А в чём глубокий смысл числа 2011 в условии?

[Shadow]

(Оффтоп)

hippie в сообщении #934497 писал(а):

А в чём глубокий смысл числа 2011 в условии?

ИСН в сообщении #934496 писал(а):

"Боян, было год назад."

Наверное было и 3 года назад.

ИСН в сообщении #934496 писал(а):

Возьмём первые 100500 пифагоровых треугольников и перемножим их меньшие катеты...

Ну, можно и нечто в явном виде:

$x=2a^{1005},\quad y_k=a^{2(1005+k)}-a^{2(1005-k)},\quad k \in [-1005,1005]$

[scwec]

Ответ на вопрос hippie
Рассмотрим окружность $x^2+y^2=1$ и на ней точки с координатами $x=\cos\alpha,y=\sin\alpha$, где
$\alpha=2arcsin{\frac{2t}{t^2+1}}$, где $t$ различные рациональные числа в любом ( но конечном) количестве.
Все расстояния между точками рациональны. Остается умножить все расстояния на произведение их знаменателей и расстояния превратятся в целые числа.

[rightways]

докажите, что количество таких точек ограничено.

[ИСН]

Ну это тоже банально. Возьмём две точки. Все остальные находятся на пучке гипербол между ними. Возьмём другие две. Все остальные находятся и на их пучке гипербол тоже. Каждый пучок конечен, число точек пересечения двух гипербол конечно - значит, и наших точек конечно.

[scwec]

Кстати, Н. Эннинг и П. Эрдеш в 1945 году доказали, что произвольное бесконечное
множество точек на плоскости, расстояние между любыми двумя из которых рационально, должно лежать на прямой линии.

[hippie]

scwec в сообщении #934622 писал(а):

доказали, что произвольное бесконечное множество точек на плоскости, расстояние между любыми двумя из которых рационально, должно лежать на прямой линии.

Контрпример к этому утверждению находится чуть выше:

scwec в сообщении #934516 писал(а):

Рассмотрим окружность $x^2+y^2=1$ и на ней точки с координатами $x=\cos\alpha,y=\sin\alpha$, где
$\alpha=2\arcsin{\frac{2t}{t^2+1}}$, где $t$ различные рациональные числа в любом (но конечном) количестве.
Все расстояния между точками рациональны.

А если добавить к этим точкам центр окружности, то точки не будут лежать не только на одной прямой, но и на одной окружности.

[scwec]

Бесконечное множество здесь - неограниченное, не помещающееся внутри круга конечного радиуса.
Слово "но конечном" Вы напрасно зачеркнули. Целые расстояния получаются при конечном числе точек (иначе знаменателей бесконечно много).
А так, конечно, все такие точки с рациональными расстояниями на окружности даже всюду плотны.

[Nemiroff]

scwec в сообщении #934748 писал(а):

Целые расстояния получаются при конечном числе точек (иначе знаменателей бесконечно много).

Где целые, а где рациональные.

[scwec]

На окружности $x^2+y^2=1$ бесконечно много точек, все расстояния между которыми рациональны. (Они всюду плотны на окружности). Из них выбирается конечное число $N$ точек и все расстояния между ними умножаются на одно и то же число $Z$ - произведение всех знаменателей этих расстояний.
На окружности $x^2+y^2=Z^2$ между $N$ точками расстояния целые числа.
Расстояния на окружности радиуса $1$ - рациональные. Соответствующие расстояния на окружности радиуса $Z$ для $N$ точек - целые.

[Nemiroff]

Поэтому здесь

scwec в сообщении #934622 писал(а):

Н. Эннинг и П. Эрдеш в 1945 году доказали, что произвольное бесконечное
множество точек на плоскости, расстояние между любыми двумя из которых рационально, должно лежать на прямой линии.

должно быть "целое", а не "рационально".

[scwec]

Ваше "должно быть" против формулировки теоремы Эннинга-Эрдеша.
Ничего не могу поделать.

[Nemiroff]

scwec в сообщении #934773 писал(а):

На окружности $x^2+y^2=1$ бесконечно много точек, все расстояния между которыми рациональны.

scwec в сообщении #934622 писал(а):

Н. Эннинг и П. Эрдеш в 1945 году доказали, что произвольное бесконечное множество точек на плоскости, расстояние между любыми двумя из которых рационально, должно лежать на прямой линии.

Двоемыслие.