вопрос по рядам

[provincialka]

brachypelma, сейчас для вас главное - определиться, что доказывать: сходимость или (возможную) расходимость? Методы для этого нужны разные!

-- 21.11.2014, 20:54 --

brachypelma в сообщении #934339 писал(а):

В признаке Даламбера обязательно существование предела, но пример я понял, не обращал внимание на приписку "если ряд существует"

Ну, не совсем обязательно, и существует не ряд, а отношение... И вообще, не заморачивайтесь вы признаками. Чего доказывать-то будете?

[brachypelma]

provincialka в сообщении #934341 писал(а):

brachypelma, сейчас для вас главное - определиться, что доказывать: сходимость или (возможную) расходимость? Методы для этого нужны разные!

-- 21.11.2014, 20:54 --

brachypelma в сообщении #934339 писал(а):

В признаке Даламбера обязательно существование предела, но пример я понял, не обращал внимание на приписку "если ряд существует"

Ну, не совсем обязательно, и существует не ряд, а отношение... И вообще, не заморачивайтесь вы признаками. Чего доказывать-то будете?

Расходимость, Рассмотрим ряд у которого на каждом 3м месте стоит 0, тогда по аналогии со случаем а существует контрпример, а именно $\sum_{n=1}^{n=\inf}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}\cdot(-1)^{\frac{n}{3}}$ где ненулевые члены стоят на позициях $3n+1, 3n+2$
Ну и по аналогии для произвольной степени можно предоставить такой контрпримерю

[ИСН]

Что такое $(-1)^{1/3}$, например?

[brachypelma]

P.S. не заметил что ряд по прежнему знакочередующийся, поидее расходится, сейчас поищу контрпримеры.

-- 21.11.2014, 22:13 --

ИСН в сообщении #934349 писал(а):

Что такое $(-1)^{1/3}$, например?

Арифметический кубический корень, т.е. который однозначный (без мнимой части)

[upgrade]

а так нельзя?
$\sum\limits_{k=0}^n a_n^2=\sum\limits_{k=0}^n a_n\cdot a_n$
строим ряд $b_{n-k}=a_n$, который - тот же ряд $a_n$ только с переставленными номерами - первый номер ряда $a_n$ - это последний $b_k$, а значения равны
( вместо $\sum a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ для ряда $b$ получится $\sum b_k=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$)
$\sum\limits_{k=0}^n a_n^2=\sum\limits_{k=0}^n a_n\cdot a_n=\sum\limits_{k=0}^n a_n\cdot b_{n-k}$

затем проверить на абсолютную сходимость оба ряда и если сходятся, то квадрат сходится.

[provincialka]

upgrade, это что было? С квадратами мы уже разобрались.

brachypelma, нули не вставляйте, какой от них толк... А вот на знаки посмотрите. Не обязательно их чередовать...

[brachypelma]

По-моему я ошибался.
Чтобы ряд $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_n$ сходился, необходимо чтобы $\lim_{n \to \inf}a_n \to 0$
В свою очередь возведение в нечетную степень каждого из слагаемых не меняет его знака, однако уменьшает его порядок, поэтому ряд должен сходиться тоже.
Верно? (понимаю что сейчас объяснил коряво и неформально, попытаюсь на листке в эпсилон символике описать в случае если идея верна)

[Deggial]

brachypelma, $\infty$, \infty, $\sum\limits_{n=1}^{A}$, \sum\limits_{n=1}^{A}

[ИСН]

brachypelma в сообщении #934351 писал(а):

Арифметический кубический корень, т.е. который однозначный (без мнимой части)

По-моему, тогда его можно было бы записать короче.

brachypelma в сообщении #934360 писал(а):

В свою очередь возведение в нечетную степень каждого из слагаемых не меняет его знака, однако уменьшает его порядок, поэтому ряд должен сходиться тоже.
Верно?

Попробуйте, мне уже интересно.

[brachypelma]

Попробую доказать сходимость при помощи признака Дирихле и св-ва сходящихся рядов, а именно что последовательность его членов стремится к 0.
Признак Дирихле: $a_n$ монотонно стремится к нулю и суммы $\sum\limits_{n=1}^{n=N}b_n$ ограничены, тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}a_{n}b_{n}$ сходится.
Рассмотрим наш ряд $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}a_n^3$, представим его в виде $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}a_n^{2}a_n$, по св-вам сходящихся рядов, $a_{n}^2$ монотонно стремится к нулю начиная с некоторого номера, на сходимость ряда не влияет конечное число членов этого ряда, отбросим их, введем переобозначение: $a_n=b_n$ и тогда замечаем выполнение признака Дирихле, поэтому исходный ряд сходится.

[ИСН]

Интересное развитие. Попросту Вы опираетесь на факт, что $\sum a_n^2$ сходится. Факт. Факт?

[ewert]

Можно даже и без комплексных корней. Скажем, ряд из $\frac1{n^{\frac13}}$, к которому в каждой тройке присобачены числители $1$, $-2$ и $1$ -- сходится. А вот после возведения в куб -- как-то уже не очень охотно.

[ИСН]

Вы, ewert, убийца информации. Хотите закончить тем же, чем Ассанж?

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #934381 писал(а):

Хотите закончить тем же, чем Ассанж?

А он уже закончил?...

[brachypelma]

ИСН в сообщении #934377 писал(а):

Интересное развитие. Попросту Вы опираетесь на факт, что $\sum a_n^2$ сходится. Факт. Факт?

Почему же? В признаке Дирихле не сказано что $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}a_n$ должен сходится, там сказано что последовательность $a_n$ должна монотонно стремится к нулю, например гармонический ряд не сходится, но $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}$ монотонно убывает к нулю.
Так же и в этой задаче я не опираюсь на сходимость ряда квадратов, я опирась что он монотонно стремится к нулю или я не правильно понимаю признак Дирихле и ряд должен сходиться?