площадь знака мерседеса (триссектрисы в равностор. треугол.)

[bigarcus]

в равностороннем треугольнике проведены триссектрисы
они пересекаются и образуют фигуру, похожую на знак мерседеса
вот:


мне говорят, что эта площадь откуда-то очевидна. я не понимаю откуда и как?

-- Пт ноя 21, 2014 01:45:23 --

я пока только допёр, что поскольку тут симметрия всякая есть, можно рассмотреть треть этой мерседесовской фигуры
и думать уже о том, как она соотносится к площади самого большого треугольника

[Mihr]

Мне думается: площадь жёлтой фигуры проще всего найти, вычтя из площади исходного треугольника площади трёх маленьких белых треугольников (которые действительно найти совсем не трудно).

[provincialka]

По теореме Чевы можно посчитать, в каком отношении делят трисектрису две, проведенные из одной вершины.Да, собственно, достаточно одной.

(Оффтоп)

у меня получился ответ 4/7

-- 21.11.2014, 09:28 --

Не Чевы, Менелая, конечно

[Imir]

Одну из белых фигур можно разделить пополам, получив два зеркальносимметричных прямоугольных треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов. Одна из сторон которых равна 0.5. По углу и стороне определим вторую сторону, прилежащую к прямому углу. Перемножим длину обеих сторон, прилежащих прямому углу и умножим на 3, получим площадь белой фигуры, затем вычтем её из площади всего треугольника.

[provincialka]

Imir в сообщении #934100 писал(а):

прямоугольных треугольника с углами 30, 60 и 90

Вообще-то один из углов такого треугольника равен $60^\circ /3 = 20^\circ$

-- 21.11.2014, 09:42 --

Ой, я не ту задачу решала: я думала, что стороны поделены на 3 равных части. А если углы... В ответе должен фигурировать тангенс $20^\circ$, то есть "нехорошее" значение.

[Imir]

Да спасибо за поправку, я просто не проснулся еще, но принцип такой же.

-- 21.11.2014, 10:53 --

Слово триссектриса подразумевает деление угола на 3 равные части, если я не ошибаюсь.

[provincialka]

Imir в сообщении #934102 писал(а):

Слово триссектриса подразумевает деление угола на 3 равные части, если я не ошибаюсь.

Разумеется. Только пишется с одинарной "с". Но с углами задача становится совсем банальной.

[ewert]

provincialka в сообщении #934099 писал(а):

По теореме Чевы можно посчитать, в каком отношении делят трисектрису две, проведенные из одной вершины.Да, собственно, достаточно одной.

(Оффтоп)

у меня получился ответ 4/7

-- 21.11.2014, 09:28 --

Не Чевы, Менелая, конечно

Зачем Чевы с Менелаями?... Соединим концы двух нижних наклонных линий. Высота полученной трапеции, очевидно, равна одной трети от высоты всего треугольника. И внутри этой трапеции высоты верхнего и нижнего треугольничков соотносятся как их основания, т.е. как два к трём. Итого высота нижнего треугольника равна $\frac13\cdot\frac35=\frac15$ высоты всего треугольника, т.е. площадь каждого белого треугольника есть одна пятая от общей. Соответственно, площадь звёздочки -- две пятых.

Это, естественно, если считать, что "трисектрисы" делят на три равных части сторону, а не угол.

[gris]

Сторону на три части делит терциана. Вот только не помню, возможно, отсекает одну треть Или их две.

[Evgenjy]

(Оффтоп)

Три сектрисы за углом
Мерседес тащили в дом

[bigarcus]

provincialka в сообщении #934103 писал(а):

Но с углами задача становится совсем банальной.

реквестую хинт

[gris]

С углами хинты были: белый треугольник, его равнобедренность, высота, проведённая к большей стороне, угол в $20^{\circ}$, тангенс этого угла, площадь, три площади, площадь большого треугольника, площадь жёлтой фигуры.
Если попроще, то можно провести в большом треугольнике радиус вписанной и радиус описанной окружности. И рассмотреть треугольник с этими радиусами и половинкой боковой стороны. Найти отношение площадей белой и желтой части. Там сразу же видны синус $10^{\circ}$, что тоже не подарок. Ну можно так и оставить или приближённо посчитать.

[provincialka]

bigarcus в сообщении #939362 писал(а):

реквестую хинт

Чего? Я смотрю, gris понял...

[gris]

provincialka, надо так: Я смотрю, даже gris понял, а вы лагаете. Может быть ещё солюшен зареквестируете?

[provincialka]

gris, ну правда, хоть вы расшифруйте загадочную фразу. Все-таки ТС мне отвечал. А чё сказал-то? Ругался? Или соглашался? Я в стрессе!