ТФКП: дифференцируемость и ряд Лорана

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть две задачки по ТФКП, если кому не сложно, проверьте, пожалуйста, логику моего решения.

Задача 1. Дифференцируема ли функция

$$f(z) = \operatorname{Re}((iz)^2)$$

?

Преобразуем функцию:

$$\operatorname{Re}((iz)^2) = \operatorname{Re}(-z^2) = \operatorname{Re}(-(x+iy)^2) = \operatorname{Re}(-(x^2+2ixy-y^2))= \operatorname{Re}(y^2-x^2-2ixy) = y^2-x^2$$

То есть

$$f(z)=y^2-x^2$$

и

$$\operatorname{Re} (f(z)) = u(x,y) = y^2-x^2$$

$$\operatorname{Im} (f(z)) = v(x,y) = 0$$

Проверим условия Коши-Римана:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

Частные производные всюду непрерывны.

$$\left\{\begin{matrix} -2x=0\\ 2y=0 \end{matrix}\right.$$

Данная система уравнений имеет единственное решение $(0;0)$, то есть, условия Коши-Римана выполняются только в точке $(0;0)$, следовательно, функция $f(z)$ дифференцируема только в точке $(0;0)$.


Задача 2. Разложить функцию

$$f(z) = \frac{1}{z-2}$$

в ряд Лорана в окрестности точки $z_{0}=0$.

Преобразуем функцию:

$$\frac{1}{z-2} = - \frac{1}{2-z}= - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}}$$

Используем разложение

$$\frac{1}{1-z} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n, \qquad |z|<1$$

Получим:

$$ - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}} = - \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{z}{2} \right )^n$$

Так как

$$\left | \frac{z}{2} \right | < 1 \Rightarrow |z| < 2 $$

то областью сходимости полученного ряда будет открытый круг $|z|<2$.


Спасибо!

[Ms-dos4]

А в чём собственно ваши сомнения?

[Limit79]

Ms-dos4
Сомнений по написанному вроде нет, но может где какие-то детали забыл...

[Ms-dos4]

Ну раз сомнений нет

[Limit79]

Ms-dos4
Их вроде нет, но я мог что-нибудь забыть...

Спасибо за помощь!