Доказательство теоремы Силова

[Felt]

В учебнике Каргаполова, Мерзлякова по теории групп дано такое доказательство той теоремы Силова, которая говорит о существовании групп для любой степени простого числа $p$, которая делит порядок конечной группы $p^r n$, где $n$ не делится $p$. В этом учебнике используют понятие действия группы на множестве.
Доказывают, что существует группа порядка $p^\alpha$. Пусть $K$ - множество всех подмножеств группы $G$ мощности $p^\alpha$.
Далее, довольно просто доказывается, что максимальная степень $p$, делящая мощность $K$ это $p^{r-\alpha}$. Затем вводится действие группы на множестве $K$, так как $Mg= \lbrace mg : m \in M \rbrace \in K$, то действие на множестве определено и орбита некоторого множества $M \in K$ будет $MG=\lbrace mg : m \in M, g \in G \rbrace=\lbrace M_1, M_2, ..., M_l \rbrace$.
Мне непоняте следующий момент: для продолжения доказательства выбирают такую орбиту из всех возможных орбит из K, что $MG=\lbrace M_1, ... , M_s \rbrace$ и $(s, p^{r-\alpha+1})=1$(почему-то этого не говорится, но подразумевается, что $p^{r-\alpha}$ делит $s$). Так вот в чём вопрос: откуда есть уверенность, что орбита данной длины существует?

[AV_77]

Felt в сообщении #933780 писал(а):

Мне непоняте следующий момент: для продолжения доказательства выбирают такую орбиту из всех возможных орбит из K, что $MG=\lbrace M_1, ... , M_s \rbrace$ и $(s, p^{r-\alpha+1})=1$(почему-то этого не говорится, но подразумевается, что $p^{r-\alpha}$ делит $s$). Так вот в чём вопрос: откуда есть уверенность, что орбита данной длины существует?

Там такого не подразумевается. Выбирается некоторая орбита длина которой не делит $p^{r - \alpha + 1}$. Существование такой орбиты следует из того, что мощность множества $\mathfrak{M}$ равна сумме длин орбит, делится на $p^{r - \alpha}$ и не делится на $p^{r - \alpha + 1}$.

[Felt]

Цитирую предложение: "так как наибольшая степень $p$ делящая $s$, - это $p^{r-\alpha}$, то ...". В таком случае откуда и это тоже следует, не сказано.

[AV_77]

В этом контексте "наибольшая" значит "наибольшая возможная", откуда следует, что $|G_1|$ кратен $p^{\alpha}$.

[Felt]

Вот оно как. В этом учебнике много подобных упущений как это и с длиной орбиты, которые совсем необъяснены и иногда долго/трудно понимаемы