Многообразие без края

[cool.phenon]

Верно ли, что непрерывный образ многообразия без края является многообразием без края?

[gris]

Пришло в голову, что отрезок на интервал нельзя непрерывно отобразить, а интервал на отрезок можно. А в Вашем случае биективность не требуется?

[cool.phenon]

Только непрерывность. Все истекает из задачи, что в клеточном пространстве образ границы $n$-мерного замкнутого шара при характеристическом отображении будет замыканием клетки.

[Evgenjy]

Спроектируйте сферу на плоскость. Получите круг.

[VanD]

А отображение открытого круга радиуса $1$ с центром в $(0, 0)$ на замкнутый круг с тем же центром радиуса $\frac{1}{2}$, неподвижное на втором круге и переводящее остальное в границу, так что полярный угол точек прообраза сохраняется у точек образа? Оно же непрерывное.

[cool.phenon]

Если я все верно понимаю, то ответ на мой вопрос положителен? Ведь у кругов(сфер) нет края.

[VanD]

Нет, ответ отрицателен: у замкнутого круга его граница - его край.

[cool.phenon]

Это не согласовывается с моими представлениями о той задаче, которую я изначально решаю. Может, нужно было какое-то дополнительное условие добавить в вопрос. В ней нужно доказать, что если $f:D^{n}\to E$ -- непрерывное отображение, и $f(\operatorname{Int} D^n)=e^{k}_{i}$ -- гомеоморфизм, то $f(S^{n-1})=\overline{e^{k}_{i}}\backslash e^{k}_{i}$. Поскольку $f$ -- непрерывно, а $S^{n-1}$ замкнуто и связно, то $f(S^{n-1})$ замкнуто и связно, кроме того, $\emptyset \subseteq f(S^{n-1}) \subseteq \overline{e^{k}_{i}}\backslash e^{k}_{i}$(из свойств образа замыкания). Но $\overline{e^{k}_{i}}\backslash e^{k}_{i}$ не имеет края, а любое его подмножество имеет край, отсюда я думал показать, что включение не достижимо.

[cool.phenon]

Уважаемые участники, что вы думаете о последней упомянутой задаче? Очень важно понять, двигался ли я в правильном направлении.

[Evgenjy]

У Вас много путаницы. Ваш первоначальный вопрос

cool.phenon в сообщении #933321 писал(а):

Верно ли, что непрерывный образ многообразия без края является многообразием без края?

не имеет никакого отношения к задаче. Поскольку для характеристического отображения важно не только, что оно непрерывно, но что это гомеоморфизм на внутренности шара. Далее у Вас в условии задачи

cool.phenon в сообщении #933330 писал(а):

в клеточном пространстве образ границы $n$-мерного замкнутого шара при характеристическом отображении будет замыканием клетки

Видимо не замыканием клетки, а будет принадлежать замыканию клетки.

[cool.phenon]

Эти задачи эквивалентны, если взять из равенства $f(\operatorname{Int}D^{n})={e^{k}_{i}}$ отнять из обеих частей по результату гомеоморфизма, получим вторую задачу.

Цитата:

Видимо не замыканием клетки, а будет принадлежать замыканию клетки.

Это была бы очень простая задача, ответ в одну строку после применения свойств замыкания образа. Если это не так, можете привести контрпример? (клеточное пространство, что $f(D^{n})\varsubsetneq \overline{e^{k}_{i}}$)

[Evgenjy]

Видимо я не понимаю Вас.
Имеются следующие тривиальные свойства характеристического отображения:
$f(\operatorname{Int} D^n)=e^{k}_{i}$ (гомеоморфизм);
$f(S^{n-1})=\overline{e^{k}_{i}}\backslash e^{k}_{i}$ (непрерывное отображение на);
$f(D^n)=\overline{e^{k}_{i}}$ (непрерывное отображение на).
Какое свойство Вы еще хотите доказать?

[cool.phenon]

У меня в определении клеточного пространства было только первое, хочу доказать хотя бы одно из 2,3

[g______d]

Рассмотрите отображение окружности в восьмёрку. Образ тогда вообще не будет многообразием, т. к. распадётся на 4 компоненты связности после выкидывания точки.