Работа

[fronnya]

Какую работу нужно совершить, чтобы медленно раскрутить брусок массы $m$ на пружинке длиной $l_0$ и жесткостью $\kappa$ до угловой скорости $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящий через второй конец пружинки ?

В данном случае на брусок действует только сила упругости пружинки. Уравнение движения выглядит следующим образом:

$$m\omega^2 l= \kappa (l-l_0)$$

Откуда

$$l=\frac {l_0}{1-\frac{m}{\kappa}\omega^2}$$

Обозначим $\frac{1}{1-\frac{m}{\kappa}\omega^2}=\eta$, тогда $l=\eta l_0$ Работа:

$$A=\int\limits_{l_0}^l \kappa(l-l_0)dl$$

Получаем $A=\frac{1}{2} \kappa (l^2-l_0^2)-\kappa l_0 l-\kappa l_0^2$ Или в наших обозначениях

$$A=\frac{1}{2}\kappa l_0^2 (\eta^2 -1)-l_0^2(\eta\kappa -1)$$

Где- то тут ошибка..

[Ms-dos4]

Во первых, интегрируете вы неверно (знак у последнего члена не тот). А всё потому, что скобки раскрываете, а надо под дифференциал подводить
$\[\int\limits_{{l_0}}^l {k(l - {l_0})dl} = \int\limits_{{l_0}}^l {k(l - {l_0})d(l - {l_0})} = \frac{k}{2}\left. {{{(l - {l_0})}^2}} \right|_{{l_0}}^l = \frac{k}{2}{(l - {l_0})^2}\]$
Ну и во вторых, мне кажется вы забываете учитывать то, что ведь работа идёт не только на растяжение пружины но и на саму раскрутку. Т.е. в конце у бруска имеется кинетическая энергия. Однако она выражается через момент инерции, и параметры бруска не заданы. Видимо составители считали что брусок точечный, и его кинетическая энергия после раскрутки $\[\frac{{m{l^2}{\omega ^2}}}{2}\]$