Геометрическая задачка

[lexai]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей: Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают 10 параллельных прямых на расстоянии 1 друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольников на этих прямых, не более десяти.
Были идеи как-то изменить сам многоугольник, чтобы отрезки как-нибудь зависели от площади, но решить так и не удалось.

[provincialka]

Что значит "отрезки зависят от площади"? Вы оценки делать пробовали? Заключать части многоугольника в прямоугольники? Ил, наоборот, вписать в них трапеции?

[lexai]

provincialka в сообщении #933369 писал(а):

Что значит "отрезки зависят от площади"? Вы оценки делать пробовали? Заключать части многоугольника в прямоугольники? Ил, наоборот, вписать в них трапеции?

Я пробовал заключать части многоугольника в прямоугольники со сторонами равными 1 и $d_i$, где $d_1$ - длина отрезка с номером $i$.
Но возникает проблема: прямоугольник с самой большое стороной может выходить за границы многоугольник, и не очень понятно как связать новую площадь со старой (что окажется в итоге больше, а что меньше).

[gris]

Поиск путей к решению можно начинать с построения контрпримеров.
Например, критично ли условие, что все прямые пересекают многоугольник? Да, так как если, например, только одна, то легко построить пример с отрезком любой длины.
Важно, что многоугольник выпуклый? Да, иначе можно к предыдущему примеру пристроить что-нибудь узенькое и длинненькое.
Обязаны ли все отрезки быть не больше единицы? Нет, треугольник подтверждает.
Становится понятным, что надо использовать при доказательстве, а что не надо.
Легко построить пример, когда достигается максимальная общая длина.
А почему прямых десять? При каких условиях задача будет совершенно аналогичной, если прямых будет сто или две (расстояние оставим прежним)?

[provincialka]

lexai, подумайте, какую фигуру вам нужно построить: меньшую, чем многоугольник, или большую? Вписанную или описанную?

[lexai]

gris в сообщении #933387 писал(а):

Поиск путей к решению можно начинать с построения контрпримеров.
Например, критично ли условие, что все прямые пересекают многоугольник? Да, так как если, например, только одна, то легко построить пример с отрезком любой длины.
Важно, что многоугольник выпуклый? Да, иначе можно к предыдущему примеру пристроить что-нибудь узенькое и длинненькое.
Обязаны ли все отрезки быть не больше единицы? Нет, треугольник подтверждает.
Становится понятным, что надо использовать при доказательстве, а что не надо.
Легко построить пример, когда достигается максимальная общая длина.
А почему прямых десять? При каких условиях задача будет совершенно аналогичной, если прямых будет сто или две (расстояние оставим прежним)?

Максимальная общая длина достигается, если данный многоугольник - прямоугольник, со стороной 1, 2 прямые являются сторонами, остальные прямые параллельны им, тогда длина каждого отрезка равна 1.
Возможно, что для n прямых, площадь многоугольника должна равняться n-1.

-- 19.11.2014, 18:33 --

provincialka в сообщении #933389 писал(а):

lexai, подумайте, какую фигуру вам нужно построить: меньшую, чем многоугольник, или большую? Вписанную или описанную?

Я думаю, что требуется построить фигуру меньшей площади, причем её площадь должна выражаться через данные отрезки.

[ratay]

А 10 потому, что расстояние между крайними линиями будет равно 9. Тогда можно начать с построения прямоугольника, две боковые грани которого параллельны заданным прямым, а длина двух других будет больше 9 на малую величину. Тогда и сумма отрезков на прямых будет меньше 10 на малую величину (уже другую). Затем попробовать пошевелить стороны прямоугольника. Если мы пошевелим стороны, параллельные внутренним прямым, то для сохранения площади придется сблизить две другие стороны прямоугольника и уменьшить сумму отрезков. А вот если мы пошевелим сторону, перпендикулярную внутренним линиям, тут уже надо проверить, как изменится сумма отрезков. Ну это уже пусть ТС проверит. Такие задачи молодым полезны, для тренировки мозгов. А тратить время, чтобы похвастаться, что и я умею школьные задачи решать как-то несолидно.
P.S. Частично это уже сказано в предыдущем сообщении (проснулся к вечеру народ).

[provincialka]

provincialka в сообщении #933369 писал(а):

вписать в них трапеции?

Мне удалось оценить некую сумму, полученную из данных отрезков, она не больше 9. Осталось оценить "добавок" числом 1. А, может, их только в сумме можно оценить?

Метод, предложенный ratay, мне не нравится: всякие шевеления до добра не доведут, логика - она как-то надежнее.

-- 19.11.2014, 22:00 --

Все, решила! Две оценки, потом их сложила.

[Evgenjy]

Рассмотрите
9 трапеций высотой 1 и
1 трапецию высотой 9.

[provincialka]

Дальше давайте не подсказывать! Пусть ТС сам решает.