Уравнение в целых, 2 и 4 степень

[Naf2000]

Решить в целых:
$x^2=2y^4-2y^2+1$

[gris]

Три (десять с учётом знаков) решения видны, как и последние цифры правой части. А вот дальше надо что-то с делимостью?

[ИСН]

Нет, это вряд ли.
Если решать как квадратное относительно переменных $x$ и $y^2$, то вторая из них ляжет на этакую последовательность $0,1,4,21,120\dots 6a_{n-1}-a_{n-2}-2\dots$, а дальше надо как-то выяснить, где в ней квадраты и конечно ли их число (как в фибоначчах).

[provincialka]

А запись в виде $2x^2-1=(2y^2-1)^2$ не поможет?

[ИСН]

Я примерно это и сделал. Уравнение типа Пелля, а что получается, то вот.

[Evgenjy]

$x$ число нечетное. Представив $x=2k+1$ получим
$2k(k+1)=y^2(y^2+1)$. Дальше надо воспользоваться тем, что у $k$ и $k+1$, а также у $y^2$ и $y^2+1$ нет общих делитнелей

[nnosipov]

Evgenjy в сообщении #933237 писал(а):

Дальше надо воспользоваться тем, что у $k$ и $k+1$, а также у $y^2$ и $y^2+1$ нет общих делитнелей

И как же этим воспользоваться?

[scwec]

А не лучше ли $x^2=y^4+(y^2-1)^2$. Затем тройки Пифагора и уравнение Пелля $z^2-2n^2=1$

[nnosipov]

ИСН в сообщении #933087 писал(а):

как в фибоначчах

Да, и вряд ли проще можно. Разве что повезёт. Можно, например, попробовать записать в виде $(y^2)^2+(y^2-1)^2=x^2$ и поработать с пифагоровыми тройками. Но как-то всё это невесело.

Подозреваю, что ТС сам эту задачу придумал, а решения у него нет. Есть, кстати, существенно более простая задача, которую можно свести к этой. А именно: найти простое число $p$ и натуральные числа $x$, $y$, для которых

$$ p^2+1=2x^2, \quad p+1=2y^2. $$

-- Ср ноя 19, 2014 13:59:09 --

scwec в сообщении #933246 писал(а):

Затем тройки Пифагора

Прям с языка сняли :)

[scwec]

nnosipov в сообщении #933247 писал(а):

scwec в сообщении #933246 писал(а):
Затем тройки Пифагора
Прям с языка сняли :)

Так задача-то совсем простая. ТС, скорей всего, это и имел в виду.

[nnosipov]

scwec в сообщении #933253 писал(а):

Так задача-то совсем простая

То есть, с пифагоровыми тройками там действительно всё прокатит и спуск удастся реализовать? (Я-то не пробовал, поэтому и интересуюсь.)

[Naf2000]

nnosipov в сообщении #933247 писал(а):

$$ p^2+1=2x^2, \quad p+1=2y^2. $$

Эту решил для простого p, а вот если требование простоты убрать, то эта выходит

[nnosipov]

Naf2000 в сообщении #933272 писал(а):

а вот если требование простоты убрать, то эта выходит

Выходит-то она выходит, но решить её Вы смогли или нет?

[Naf2000]

увы нет

[scwec]

Известно, что все пифагоровы треугольники вида $(a,a+1,c)$ выращиваются из треугольника $(3,4,5)$
с помощью преобразования $(a,a+1,c)\to{(3a+2c+1,3a+2c+2,4a+3c+2)}$ (c увеличивается).
Обратное преобразование $(a,a+1,c)\to{(3a-2c+1,3a-2c+2,3c-4a-2)}$ (с уменьшается).
Дальше надо исхитриться выделить квадраты из получаемых таким образом длин катетов.
Вот все значения $y-x$ до ...
$1-1 ,2-5 $
Удалил. Расчеты велись с недостаточной точностью.