Доказать равномерную сходимость ряда

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Доказать, что данный ряд равномерно сходятся

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(1+x^2)^n}$$

Я понимаю, что без множества задача некорректна, поэтому спрошу: можно ли доказать равномерную сходимость данного ряда на $E=\mathbb R$?

С помощью признака Вейерштрасса что-то вроде и получается, но до конца довести не могу...

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933136 писал(а):

С помощью признака Вейерштрасса что-то вроде и получается

Вот напишите, что получается.

И вы спрашиваете про равномерную сходимость на $\mathbb{R}$ когда у вас в точке $0$ ряд не сходится.

[ИСН]

А к чему он сходится-то?

-- менее минуты назад --

А нет, забейте, неважно.

[Limit79]

demolishka
Да, верно, тогда пусть будет $E=\mathbb R \backslash \{0 \}$.

Пробовал как-то так:

$$x^2 \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x^2+1 \geqslant 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2+1} \leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad \left | \frac{1}{(x^2+1)^n} \right | \leqslant 1$$

при всех

$$n=1,2...$$

а вот дальше не пойму что делать.

[ИСН]

Начиная с какого члена, функция окажется в пределах $\pm0.1$ от конечной суммы и перестанет покидать эти пределы?

-- менее минуты назад --

Нет, это слишком сложно. Начиная с какого номера, каждое слагаемое будет равномерно ограничено по модулю величиной 0.1?

[Limit79]

ИСН
А как это определить?

Вообще, это вроде прогрессия.

[cool.phenon]

Здесь Вейерштрасс сработает только на $\left[\varepsilon, +\infty\right)$

[iifat]

Право же, очень вам советую разобраться с прогрессиями. Чтоб вот взглянули на последовательность — и тут же сказать. Не «вроде прогрессия», не «кажется, прогрессия», не «по чётным прогрессия», а — прогрессия, либо не прогрессия. И какая, кстати, прогрессия.
И только после этого решить неравенство $\left(\frac1{x^2+1}\right)^n \leq 0.1$ и проверить, ограничена ли функция на вашем множестве.

[Otta]

Limit79 в сообщении #933145 писал(а):

Да, верно, тогда пусть будет $E=\mathbb R \backslash \{0 \}$.

Необходимое условие равномерной сходимости еще есть.

[Limit79]

iifat
Геометрическая прогрессия.

-- 19.11.2014, 03:40 --

Otta

Цитата:

Если ряд равномерно сходится на множестве $E$, то последовательность его членов $u_n(x)$ равномерно стремится к нулю на том же множестве.

-- 19.11.2014, 03:42 --

iifat в сообщении #933160 писал(а):

И только после этого решить неравенство $\left(\frac1{x^2+1}\right)^n \leq 0.1$ и проверить, ограничена ли функция на вашем множестве.

При любом $n$ максимум $\frac{1}{(x^2+1)^n}$ будет равен единице.

[demolishka]

Посмотрите, будет ли выполняться необходимое условие равномерной сходимости на множестве $(0;+\infty)$.

[Otta]

Limit79 в сообщении #933167 писал(а):

Otta

Цитата:

Если ряд равномерно сходится на множестве $E$, то последовательность его членов $u_n(x)$ равномерно стремится к нулю на том же множестве.

Спасибо, я его знаю.

[Limit79]

Otta
demolishka

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{E} \frac{1}{(x^2+1)^n} = 1$$

[Otta]

Ну уже не говорите по одной букве, делайте выводы.

[Limit79]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #933177 писал(а):

Ну уже не говорите по одной букве, делайте выводы.

Боюсь!

Ряд сходится, при всех $x \in \mathbb R \backslash \{ 0\}$.

Пусть $E= \mathbb R \backslash \{ 0\}$, тогда

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{E} \frac{1}{(x^2+1)^n} = 1 \neq 0$$

отсюда следует, что ряд нигде равномерно не сходится.