Задачи по функциональному анализу

[s3ct]

Помогите плиз решить следущие задачи по функ анализу.
1)Пусть {Xn}, {Yn} - фундамент посл-ть в метр простарнстеве X доказать что числовая послед-ть Tn=p(Xn,yn) сх-ся
2) Пусть L={x=(x1,x2) 2x1-x2=0} лин многообразие в R2. Построить продолжение линейного ограничен функционала f, определ на на L, на все про-во R2 с сохр нормы в случ когда f(x)=x1
3) Доказать, что в нормир пр-ве X верно утв - Для любого x,y принадл X / x не равно Y существует F из X сопряж/ f(x) не равно f(y)

[Brukvalub]

s3ct писал(а):

Пусть {Xn}, {Yn} - фундамент числовая посл-ть в метр простарнстеве X

Во как бывает! А я и не знал

[RIP]

1) Докажите, чё последовательность $T_n$ фундаментальная.

2) Воспользуйтесь тем, как выглядит любой линейный функционал в $\mathbb R^2$.

3) Используйте теорему Хана-Банаха.

[s3ct]

RIP писал(а):

3) Используйте теорему Хана-Банаха.

Использовал показал что
1)$\forall x, x \neq 0 \exists f \in X^* $ что, $f = 1$ и $f(x) =||x||$
и
2)$\forall y, y \neq 0 \exists f \in X^* $ что, $ f = 1$ и $f(x) =||y||$

т.к $x\neq y\Rightarrow ||x||\neq ||y|| \Rightarrow f(x)\neq f(y)
И отсюда и получаем искомое утверждение. Но почему функционалы равны в первом и втором утверждении ? Что неверно ?

[нг]

s3ct
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка). Помимо всего прочего, формулы обычно не двусмысленны.

Норма: $||\cdot||$

||\cdot||

[RIP]

s3ct писал(а):

Что неверно ?

Хотя бы вот это:

s3ct писал(а):

т.к $x\neq y\Rightarrow ||x||\neq ||y||$

Далее, я не могу понять, что значит $f=1$. Имеется в виду $\|f\|=1$?

P.S. Вообще-то, норма набирается так: $\|\cdot\|$.

\| \cdot \|

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

Кстати, подсказка:

$$f(x)\ne f(y)\quad\Leftrightarrow\quad f(x-y)\ne0$$

(для линейного $f$).