Фундаментальная последовательность, не имеющая предел?

[eugrita]

В некотором задании матем.школы требуется дать пример последовательности ${x_n}$
удовлетворяющей свойству фундаментальности
$\forall \eps >0 , \forall p \in N \exists k \in N \forall n>k : |x_{n+p}-x_n|<\varepsilon $
но не имеющей предела.
Видимо имеется ввиду последовательность комплексных чисел, т.к. весь блок заданий посвящен им.

[Otta]

Так фундаментальная или такая:

eugrita в сообщении #932165 писал(а):

$\forall \varepsilon >0 \forall p \in N \exists k \in N \forall n>k : |x_{n+p}-x_n|<\varepsilon $

?

[eugrita]

Так я по-мому написал условие Коши. Разве это не фундаментальность?

[Otta]

От перестановки кванторов сумма меняется.

[eugrita]

Еще раз в одинаковых обозначениях
Усл фундаментальности Коши так?
$\forall \varepsilon >0 \exists N_e | \forall n \geq N_e ,\forall p \ge N_e \Rightarrow |x_{n+p}-x_n | < \varepsilon $

Усл задачи таково
$\forall \varepsilon >0 ,\forall p\exists N_e | \forall n \ge N_e \Rightarrow |x_{n+p}-x_n | < \varepsilon $
т.е здесь вместо "для любого эпсилон больше нуля существует такое N что для любого n большего N, p большего..."
поставили "для любого эпсилон больше нуля для любого p больше ноля существует такое N что для любого n большего..."
т.е. переставили в ЕСЛИ условие "существует p"
Все равно не совсем понимаю. Контрпример?

[provincialka]

Менять местами $\forall x$ и $\exists y$ нельзя. А то получится так:
- У нас есть ботинки на любой размер.
- Вот такие мне и дайте.

[Otta]

Контрпример к чему? Контрпример есть и в первом случае - достаточно взять пространство не полным, и во втором.
Разницу тоже надо понимать, к чему приводит перестановка кванторов. Это в первом случае у Вас $N$ выбирается в зависимости только от эпсилон. Во втором для каждого эпсилон и для каждого $p$ можно выбирать свое $N$, для которого выполнены все следующие за ним условия. То есть, вообще говоря, $N$ теперь является функцией и $p$ тоже. Понятно, что второе условие более слабое. То есть ему удовлетворяют не только фундаментальные последовательности, но и всякие другие.

Смысл разницы на пальцах примерно такой: для фундаментальных последовательностей при росте номеров двух элементов расстояние между ними стремится к нулю со скоростью, не зависящей от того, насколько далеко их номера отстоят друг от друга. Второе условие говорит, что расстояние по прежнему стремится к нулю, но вообще говоря, равномерную оценку на эту скорость, не зависящую от удаленности номеров, получить не обязательно можно. Для номеров, отстоящих на 1, она может быть одна, для номеров, отстоящих на 2 - другая - и т.д.

Пример? Ну возьмите последовательность частичных сумм расходящегося ряда с общим членом, стремящимся к нулю. Например.

[Nemiroff]

eugrita в сообщении #932174 писал(а):

Контрпример?

Над гармоническим рядом помедитируйте.

[eugrita]

Есть еще тонкость, что здесь под понятием сходящейся последовательности понимается сходимость к конечному пределу. А в ТФКП вообще-то бесконечность - равноправная точка?

[Otta]

eugrita в сообщении #932183 писал(а):

Есть еще тонкость, что здесь под понятием сходящейся последовательности понимается сходимость к конечному пределу.

Это не тонкость, это норма.

eugrita в сообщении #932183 писал(а):

А в ТФКП вообще-то бесконечность - равноправная точка?

Смотря для чего. Слова о существовании предела говорятся в любом случае, когда он конечен. Про бесконечный так и говорят: равен бесконечности.

-- 17.11.2014, 10:08 --

Вам не нужны здесь комплексные числа, если что.

[eugrita]

Но наверное все -таки надо аккуратнее произносить известный критерий Коши:
Числовая посл-ть сходится тогда и только тогда, когда она явл фундаментальной
заменив словами
Числовая посл-ть сходится к конечному пределу тогда и только тогда, когда она явл фундаментальной

потому что под сходимостью кое-где понимают и сходимость к бесконечн пределу (бесконечно большую посл-ть)

[Otta]

eugrita в сообщении #932739 писал(а):

заменив словами

Заменяйте.

(Оффтоп)

Можете там еще приписать "в полном метрическом пространстве", для верности ))

Для меня лично эта замена кажется лишней, поскольку в большинстве курсов определение предела последовательности начинается словами "число $A$ называется пределом последовательности ... " и далее по тексту, который исключает понимание "сходимости" к бесконечности. Но поскольку этот спор возникает здесь уже не в первый раз, чтобы его сократить, я скажу проще: если у Вас лично наличие понятия бесконечного предела вызывает какие-то коллизии и желание соотв. последовательности причислить к сходящимся - можете произносить критерий Коши так, как Вы написали.

Меня же всю жизнь учили, что последовательность с бесконечным пределом сходящейся не является, и понятие это введено для того, чтобы выделить нужный и удобный класс последовательностей среди расходящихся.

[iifat]

eugrita в сообщении #932174 писал(а):

Усл фундаментальности Коши так?

Кстати, насколько я помню, не совсем. Либо $\left|x_p-x_n\right| <\varepsilon$, либо последний квантор $\forall p$ без дополнительных условий. Либо это дело равносильно, но это надо доказывать.

[Otta]

iifat
Не, не, Вы все правильно помните, и я заметила, но сперва надо было выловить бревно. ))

[eugrita]

Кстати задача эта - из Ломоносовской школы в г.Москве.
Очень хочется познакомиться и с другими задачами и узнать из какого источника их дают.
Скажу например, что там на предмете "анализ" во всю изучают ТФКП - -функцию Жуковского,
инверсии. Что соответствует 3 курсу ВУЗа (ну конечно элементы ТФКП без интегралов и рядов)

Геометрия там более стандартная, хотя и там проскакивают термины "радикальная ось" ,степень точки относительно окружности,ортоцентрический тетраэдр. Т.е. и геометрия заточена под ТФКП.