ДУ, решeниe прeдстaвить в пaрaмeтрической фoрме(?)

[tetroel]

Здравствуйте.

Дано такое уравнение $(x+2y')y''=1$

Я попытался сделать замену $p=y'$, тогда $y''=p'$, откуда получается уравнение $(x+2p)p'=1$

И всё бы ничего, только вот при решении этого последнего уравнения выходит $x+2p-2\log\left|x+2p+2\right|=x+C$, откуда переменную никакую не выразить, а о параметрическом виде я вообще уже не говорю

Что я делаю не так?

[Алексей К.]

Не так лишь то, что икс из правой и левой части полученного уравнения не сократили, но это мелочь.

Я обозвал параметром $t$ величину под логарифмом: $t=x(t)+2p(t)+2\quad\to\quad x(t)=\dots$
(Прав ли я? Как додумался? Пока не знаю, давно не тренировался).
Ваше решение даёт $p(t)=\ln |t|+C_1$.
Ну и у меня получилось $y(t)$ выразить. Рассказать как?

[tetroel]

Алексей К. в сообщении #931878 писал(а):

Рассказать как?

Да

[Алексей К.]

$$y(t)=\int\frac{dy}{dt}\,dt=\int\frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}\,dt=\int p(t)\frac{dx}{dt}\,dt=\ldots$$

И интегральчик вроде как берётся.

[tetroel]

Алексей К. в сообщении #931906 писал(а):

$$y(t)=\int\frac{dy}{dt}\,dt=\int\frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}\,dt=\int p(t)\frac{dx}{dt}\,dt=\ldots$$

И интегральчик вроде как берётся.

А не могли бы вы как-то по-другому объяснить? Мне не очень понятно

[Алексей К.]

Я попробую... попозже... и в надежде, что кто-нибудь, наконец, вмешается в тему попрофессиональнее. Или просто по-другому.
Я, возможно, нехорошо пступил, использовав одинаковые буковки, например, $y$, для $y(x)$ и $y(t)$; взял бы хотя бы $Y(t)$...

[Otta]

Ну я вам помешаю немножко.
Во первых строках мово письма хочу спросить, откуда взялся этот дивный агрегат

tetroel в сообщении #931760 писал(а):

выходит $x+2p-2\log\left|x+2p+2\right|=x+C$

Во вторых потом скажу.

[tetroel]

Otta в сообщении #931931 писал(а):

Во первых строках мово письма хочу спросить, откуда взялся этот дивный агрегат

$\left(x+2y'\right)y''=1$
Замена:
$y'=p, y''=p'$, тогда

$\left(x+2p\right)p'=1$,

Очередная замена: $\gamma = x+2p$, тогда $\gamma'=2p'+1$, а $p'=\frac{\gamma'-1}{2}$

После чего имеем:
$\gamma\left(\frac{\gamma'-1}{2}\right)=1$,

$\gamma\left(\gamma'-1\right)=2$ ,

$\gamma'-1=\frac{2}{\gamma}$,

$\gamma'=\frac{2+\gamma}{\gamma}$

$\frac{d\gamma}{dx}=\frac{2+\gamma}{\gamma}$

$\frac{\gamma d\gamma}{2+\gamma}=dx$

что после интегрирования выглядит как:
$\gamma - 2\log\left|\gamma+2\right|=x+C$,
что после обратной замены идентично тому, что я указал в первом посте

[Otta]

Ну дык не надо этого ничего. Рассмотрите обратную функцию $x=x(p)$, относительно нее уравнение линейно. Получите решение, зависящее от параметра $p$. Останется сделать то же для $y$.

[tetroel]

Otta в сообщении #931947 писал(а):

Ну дык не надо этого ничего. Рассмотрите обратную функцию $x=x(p)$, относительно нее уравнение линейно.

Одни эмоции вместо слов.
Спасибо.