Вырожденность уровней энергии в одномерном случае

[propagator]

Здравствуйте,

Известно, что в одномерном случае все уровни дискретного спектра не вырождены (см., например, параграф 21 ЛЛ3, 6-е изд.).

Рассмотрим две потенциальные ямы-близнецы глубины $U_0$ и ширины $a$, разделенные перегородкой ширины $b$:

$$\begin{cases} U_0,&\text{$x<-(a+b/2)$;}\\ 0,&\text{$-(a+b/2)\leq x \leq -b/2$;}\\ U_0,&\text{$-b/2 < x \leq b/2$;}\\ 0,&\text{$b/2 < x \leq a+b/2$;}\\ U_0,&\text{$x > a+b/2$.} \end{cases}$$

Пусть глубина ямы $U_0$ такова, что существуют четыре уровня энергии. Если $b=0$, то имеем известные для ямы конечной глубины решения, осциллирующие внутри ямы и экспоненциально затухающие вне ее. Начинаем увеличивать $b$. Тогда 2-й и 4-й уровни энергии начинают опускаться вниз (это можно увидеть по изменению частоты осцилляций внутри ямы, принимая во внимание граничные условия, нечетность волновой функции и ее поведение внутри перегородки, где решение будет гиперболическим синусом), а 1-й и 3-й поднимаются вверх. Если аккуратно нарисовать волновые функции всех состояний, то можно увидеть, что по мере того как $b$ возрастает и достигает, скажем, $a$, волновые функции, соответствующие первой и второй паре уровней энергии становятся все более похожими друг на друга в одной из ям, и отличаются знаком во второй из ям, а соответствующие этим парам уровни энергии сближаются. Очевидно, что волновые функции $\psi_1$ и $\psi_2$, а также $\psi_3$ и $\psi_4$ по существу совпадают (их квадрат модуля один и тот же), но формально $\psi_1 \neq \operatorname{const} \cdot \psi_2$ и $\psi_3 \neq \operatorname{const} \cdot \psi_4$.
Вопрос: Можно ли считать спектр в этом случае двукратно вырожденным или то, что плотность распределения вероятности одинакова означает, что спектр не вырожден?

Вдогонку. Еще проще пример: рассмотрим три потенциальных ямы бесконечной глубины и ширины $a$, разделенные промежутками длины $b$. Можно ли считать основное состояние энергии четырежды вырожденным, поскольку существует четыре волновых функции вида
1) $\cap\cap\cap$
2) $\cup\cap\cap$
3) $\cap\cup\cap$
4) $\cap\cap\cup$
не превращающиеся одна в другую заменой знака или, снова, поскольку квадрат модуля этих функций одинаков, считаем, что уровень не вырожден?

И еще. В параграфе 10 в том же ЛЛ3 доказывается, что уровни системы вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины, операторы которых не коммутативны. Как это связано с примерами, приведенными выше?

Спасибо.

[warlock66613]

propagator в сообщении #931702 писал(а):

Если аккуратно нарисовать волновые функции всех состояний, то можно увидеть, что по мере того как $b$ возрастает и достигает, скажем, $a$, волновые функции, соответствующие первой и второй паре уровней энергии становятся все более похожими друг на друга в одной из ям, и отличаются знаком во второй из ям, а соответствующие этим парам уровни энергии сближаются.

Ну возьмите и сделайте расчёт для $a=b$. Вы увидите, что нет двух стационарных уровней с одинаковыми энергиями, так что ошибка в вших качественных рассуждениях.

propagator в сообщении #931702 писал(а):

Можно ли считать спектр в этом случае двукратно вырожденным или то, что плотность распределения вероятности одинакова означает, что спектр не вырожден?

Можно и нужно, но он в данном случае таким не является.

propagator в сообщении #931702 писал(а):

волновые функции, соответствующие первой и второй паре уровней энергии становятся все более похожими друг на друга в одной из ям, и отличаются знаком во второй из ям

Не может такого быть. У вас задача зеркально симметричная, так что и все стационарные состояния будут зеркально симметричными. Так что эти два состояния - не стационарные.

-- 16.11.2014, 14:12 --

propagator в сообщении #931702 писал(а):

Еще проще пример: рассмотрим три потенциальных ямы бесконечной глубины и ширины $a$, разделенные промежутками длины $b$. Можно ли считать основное состояние энергии четырежды вырожденным

Основное состояние будет трижды вырождено, но только в пределе бесконечно глубоких ям. Для ямы сколь угодно глубокой, но конечной, вырождения не будет.

[propagator]

warlock66613 в сообщении #931708 писал(а):

Ну возьмите и сделайте расчёт для $a=b$. Вы увидите, что нет двух стационарных уровней с одинаковыми энергиями, так что ошибка в вших качественных рассуждениях.

качественные рассуждения основаны лишь на простых свойствах решения уравнения Шредингера. Если Вы думаете, что ошибка есть, сделайте расчет сами.

warlock66613 в сообщении #931708 писал(а):

Не может такого быть. У вас задача зеркально симметричная, так что и все стационарные состояния будут зеркально симметричными.

Я же говорю, возьмите карандаш и проверьте сами.

warlock66613 в сообщении #931708 писал(а):

Основное состояние будет трижды вырождено, но только в пределе бесконечно глубоких ям. Для ямы сколь угодно глубокой, но конечной, вырождения не будет.

почему трижды? вы считаете случаи 2) и 4) одинаковыми? P.S. про бесконечное глубокие и идет речь, я об этом написал.

[warlock66613]

propagator в сообщении #931715 писал(а):

Если Вы думаете, что ошибка есть, сделайте расчет сами.

Я уже делаю, и когда сделаю, то убедюсь, что прав, но вам-то это не поможет разобраться.

[propagator]

warlock66613 в сообщении #931718 писал(а):

Я уже делаю, и когда сделаю, то убедюсь, что прав, но вам-то это не поможет разобраться.

делайте, делайте. я тоже нарисую и выложу (качественную картинку, конечно, с граничными условиями возиться не охота)

[warlock66613]

propagator в сообщении #931715 писал(а):

почему трижды? вы считаете случаи 2) и 4) одинаковыми?

Потому что состояния будут трёх видов: "в первой яме не ноль, в остальных - ноль", "во второй яме не ноль, в остальных - ноль", "в третьей яме не ноль, в остальных - ноль". И энергии у них будут одинаковыми и вырожденными. Откуда и как вы получили случаи 2) и 4) и что это за случаи мне почти совсем непонятно.

[propagator]

Вот рисунок. Художник с меня никакой, поэтому неточности есть: глубина проникновения в классически запрещенную область должна увеличивается по мере увеличения энергии, амплитуда в.ф. иногда корявая, но не суть. Из главного: при увеличении $b$ в правой яме в.ф-ии все более совпадают, в левой яме отличаются только знаком. Для нечетных уровней энергии (я нумерую уровни так: $E_1, E_2, E_3, E_4$) в перегородке гиперболический косинус, для четных --- гиперболический синус. Кстати, это простая модель электрона в двухатомной молекуле. Для четных состояний (напр. $\psi_1$) энергия минимальна при $b \to 0$, так что электрон находящийся в этом состоянии старается сблизить атомы друг к другу.

[Munin]

Правый пример нереалистичен, потому что в. ф. никогда не уходит ровно в нуль.

[propagator]

Munin в сообщении #931800 писал(а):

в. ф. никогда не уходит ровно в нуль.

ну, правильно, так и нарисовано (и предполагалось).

[Munin]

А значит, вырождения не будет.

[propagator]

Munin в сообщении #931832 писал(а):

А значит, вырождения не будет.

Ну, квадраты модулей волновых функций и уровни энергии не будут в точности равны, но будут близки. Хорошо, не будет вырождения в первом примере. А что по второму с тремя бесконечно глубокими ямами?

[Munin]

propagator в сообщении #931834 писал(а):

Ну, квадраты модулей волновых функций и уровни энергии не будут в точности равны, но будут близки.

Да. Именно.

propagator в сообщении #931834 писал(а):

А что по второму с тремя бесконечно глубокими ямами?

А если есть какие-то бесконечности, то теорема не работает.

[propagator]

Munin в сообщении #931840 писал(а):

А если есть какие-то бесконечности, то теорема не работает.

хорошо, я так и думал. А какова кратность вырождения у основного состояния будет в этом случае?

[propagator]

warlock66613 в сообщении #931721 писал(а):

Потому что состояния будут трёх видов: "в первой яме не ноль, в остальных - ноль", "во второй яме не ноль, в остальных - ноль", "в третьей яме не ноль, в остальных - ноль".

это логично, но разве два из этих состояний не подходят потому, что они не есть четные?

[warlock66613]

propagator в сообщении #932729 писал(а):

это логично, но разве два из этих состояний не подходят потому, что они не есть четные?

Они вырожденные, так что, по крайней мере формально, любая их линейная комбинация тоже будет состоянием с такой энергией. Значит можно вместо двух несимметричных состояний взять их сумму (чётная симметричная) и разность (нечётная симметричная). Но, по-идее, на самом деле подобные состояния (когда волновая функция отлична от нуля в нескольких ямях) должны быть запрещены правилами суперотбора. Так что мы имеем тут спонтанное нарушение симметрии.

Да, и я был конечно неправ вот тут:

warlock66613 в сообщении #931708 писал(а):

У вас задача зеркально симметричная, так что и все стационарные состояния будут зеркально симметричными.

В то смысле, что нечётная функция - она конечно тоже симметричная.