Элементарная геометрия 7

[Phaenomenon]

Диагональ $AC‍$ прямоугольника $ABCD‍$ с центром $O‍$ образует со стороной $AB‍$ угол $30$.‍ Точка $E‍$ лежит вне прямоугольника, причём угол $BEC = 120‍$.‍
а) Докажите, что углы $CBE = ∠COE$.‍
б) Прямая $OE‍$ пересекает сторону $AD‍$ прямоугольника в точке $K$.‍ Найдите $EK$,‍ если известно, что $BE = 21$ и $CE = 40$.‍

Рисунок:


a) Легко доказывается через необходимое условие описываемости четырехугольника около окружности, где мы далее покажем углы, опирающиеся на одну дугу.
б) Пока нашел только сторону $BC=AD$. Все остальные идеи не очевидны. Вот одна их них, например. Треугольники $AOD = BOC$ и они равносторонние (это доказывается через углы и равные стороны, деленные диагональю). Следовательно, $EK = 2OK + EM$ (допустим $M$ это точка пересечения $BC$ и $EK$). Все это мы спокойно найдем через непосредственные формулы. Как такая идея? Какие идеи у вас?

[gris]

Какие-то странные символы у Вас в тексте.
Вот так можно написать: $\angle CBE = \angle COE$ и $30^{\circ}$.
a) Почти совершенно правильно. Только окружности около четырёхугольника, да достаточного, а не необходимого, хотя они и совпадают.
б) через формулы всё получается разными вариантами. Попробуйте найти решение покороче.

[Phaenomenon]

gris, спасибо за ответ!

gris в сообщении #930951 писал(а):

б) через формулы всё получается разными вариантами. Попробуйте найти решение покороче.

Да, это верно. $EM$ является чевианой, а для нее формул непосредственных нет. Ну, а $MK$ найдется по формуле BC\sqrt3$. Выходит остается только как-то найти $EM$.

[Phaenomenon]

И вот еще пришел к такому выводу, что $EM$ не просто чевиана, а высота, поскольку $MK$ высоты тоже, следовательно $EM$ должна быть перпендикулярна $BC$.

[gris]

В тексте у Вас $CE=40$, а на рисунке $CE=24$. Если в условии задачи будет стоять $CE=DE=l$, то $EM$ будет высотой в треугольнике $\Delta BEC$. А пока никак не высота. Можно, конечно, построить треугольник, в котором она будет высотой, но не в $BEC$.

Одно маленькое соображение. Когда в условии задачи ничего не говорится о сторонах или углах, то на рисунке вредно изображать частные случаи в виде равностороннего треугольника или квадрата. Но коль скоро в условии задачи уже задан частный случай, либо таковой появился в процессе решения, то полезно либо сразу рисовать хотя бы чуть-чуть соответствующий чертёж, либо даже перерисовать его. Да ещё добавить найденную окружность, например. В сложных задачах это может навести на мысль, хотя сам чертёж не является аргументом в доказательстве.

[Skeptic]

В условиях указаны два угла. Для решения этого достаточно.

$\angle AKE=120-\angle CBE$. Надо найти $\angle CBE$

[gris]

Для части а) разумеется достаточно. Но ТС привёл достаточно красивое решение. Мне кажется, что без окружности потребуется раза в два больше равенств. Да и точное значение угла без дополнительных данных не определить. Он может изменяться в пределах $0^{\circ}<\angle CBE<60^{\circ}$
Мы же решаем часть б). Решение существует при любых положительных значениях длин отрезков $BE$ и $EC$.

[Skeptic]

Окружность всё решает, только надо доказать, что она описывает четырёхугольник $BCEO$. Решение $\Delta BEC$ даёт углы $\angle CBE$ и $\angle AKE$ и длину стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$

[gris]

Так ТС сказал, что сработает достаточный признак, что сумма противоположных углов равна развёрнутому. Ведь пункт а) надо доказать ещё до задания длин отрезков. Ну а после задания там никаких сложностей нет, только нудные применения разных формул. Хотелось бы покороче чего-нибудь.

[Phaenomenon]

gris в сообщении #931433 писал(а):

Хотелось бы покороче чего-нибудь.

Да, вот покороче было бы в самый раз. И у меня появилась прекрасная идея, но чтобы она стала таковой, для начала надо найти $\angle BEM$. Ну или $\angle MEC$. Была идея работать с теоремой синусов, но она только все усложнит.

[gris]

Очень плодотворная идея. Теорема синусов не усложняет, а просто удлиняет процесс. Одну сторону Вы нашли, теперь будем находить попеременно синусы нужных углов и нужные отрезки. Это уже чисто технические дела.

[Батороев]

Phaenomenon в сообщении #931495 писал(а):

надо найти $\angle BEM$. Ну или $\angle MEC$.

Эти углы равны между собой.

[Skeptic]

Это неверно.

Я же написал $\angle AKE=120-\angle CBE$. Зная угол $\angle BEC$, угол $\angle CBE$ находится по теореме синусов
Главное в задаче доказать, что точки $B, E, C, O$ лежат на одной окружности. Далее несколько простых арифметических действий, и задача решена.

[gris]

Почему неверно? Это сразу следует из вписанности четырёхугольника и равенства половинок диагоналей прямоугольника. Далее можно считать, но это же так утомительно.

[Skeptic]

Я ошибся, не туда посмотрел.

-- 17.11.2014, 18:57 --

$EO=BE+EC$