Простое решения для суммы гипергеометрического ряда

[DMZ]

Есть сумма ряда:

\sum_{k=0}^{\infty}k x ^k.

Её можно найти через гипергеометрический ряд

\sum_{k=0}^{\infty}k x ^k$ = x\left(\sum_{k=0}^{\infty}(k+1) x ^k\right) = x ( _1F_0(2;x)),

для которого известно решение

_1F_0(a;x) = (1-x)^{-a}.


Вопрос. Существует ли более простой способ нахождения суммы этого ряда?

Wolframalfa показывает частичную сумму
\sum_{k=0}^n k x^k = \frac{(n x-n-1) x^{n+1}+x}{(1-x)^2}

Её можно как-то вывести элементарными методами?

[TOTAL]

Запишите $\sum_{k=0}^n (k+1) x^k$ как производную

[DMZ]

TOTAL в сообщении #930754 писал(а):

Запишите $\sum_{k=0}^n (k+1) x^k$ как производную

Ну записал.

$\frac{d\sum_{k=0}^n (k+1) x^k}{dx} = \sum_{k=0}^n (k+1)k x^{(k-1)} $

И чем это лучше?

[SpBTimes]

Нет, наоборот.

$$ \sum_{k=0}^n (k+1)x^k = \left(\sum_{k=0}^n x^{k+1} \right)' $$

[ИСН]

SpBTimes, Вы тоже у поручика Ржевского учились тонкие намёки делать?

[DMZ]

SpBTimes в сообщении #930866 писал(а):

Нет, наоборот.

А, дошло. Спасибо!

[SpBTimes]

ИСН
А как тут иначе, коли не доходит..