Влияние массы на орбитальные характеристики

[Ingus]

Всем известно, что $ T^2 \sim a^3$
В свою очередь $a=-\frac{G M m}{2 E}$
Энергия в случае пренебрежимо малой массы m равна $ E_0=\frac{m v^2}{2}-\frac{G M m}{r}$, r-перицентр, v-скорость в перицентре.
Приведенная масса двух тел равна $\mu=\frac{M m}{M+m}$
Энергия пары тел сравнимых масс равна $ E=\frac{\mu v^2}{2}-\frac{G M m}{r}$, r минимальное расстояние между телами, v- относительная скорость тел при максимальном сближении.
или Иначе $ E=\frac{\alpha m v^2}{2}-\frac{G M m}{r^2}$ , где $\alpha=\frac{M}{M+m}$
Понятно, что $\frac{T^2}{{T_0}^2} = \frac{{E_0}^3}{E^3}}$
НО $ \frac{{E_0}^3}{E^3}} \ne \alpha $

Что имел ввиду классик и пропорционально какой степени $\alpha$ убывает период обращения с ростом массы?

[Pphantom]

Ingus в сообщении #930654 писал(а):

Всем известно, что $ T^2 \sim a^3$

Да, только коэффициент пропорциональности в этом выражении является функцией масс. Поэтому когда Вы начинаете искать зависимость чего-то от массы, у этого выражения пропадает смысл.

Ingus в сообщении #930654 писал(а):

Что имел ввиду классик

Кажется, следствие из II и III законов Кеплера для задачи двух тел со сравнимыми массами.

Это, кстати, уж не Ньютон ли? Если да, то настоятельно не советую (по крайней мере, до детального освоения соответствующего материала по какому-либо более современному и более понятному источнику).

Ingus в сообщении #930654 писал(а):

и пропорционально какой степени $\alpha$ убывает период обращения с ростом массы?

Что-то я сомневаюсь, что эта зависимость - степенная (если от других масс вообще удастся избавиться).

P.S. И, хотя я, кажется, уже когда-то Вам это писал... было бы неплохо перед стартом каких-то действий пытаться формулировать, что, собственно, Вы хотите получить. А то со стороны это выглядит как реализация идеи "кручу, верчу, вас (ну или себя) обмануть хочу".

[Ingus]

Pphantom в сообщении #930683 писал(а):

А то со стороны это выглядит как реализация идеи "кручу, верчу, вас (ну или себя) обмануть хочу".

Вот меньше всего я хочу Вас обмануть.
Это действительно Ньютон, и я не понимаю как формализовать в современной интерпретации это самое его Предложение. Прошу помощи.
У меня получается совсем другая зависимость периода обращения от соотношения масс тел.

[Ingus]

Ingus в сообщении #930654 писал(а):

Поэтому когда Вы начинаете искать зависимость чего-то от массы, у этого выражения пропадает смысл.

Но остается смысл у выражения отношения периодов от отношения масс

-- 14.11.2014, 13:51 --

Pphantom в сообщении #930683 писал(а):

до детального освоения соответствующего материала по какому-либо более современному и более понятному источнику).

Детально изучен Ландау и Бутиков

[Munin]

Ingus в сообщении #930809 писал(а):

Детально изучен Ландау и Бутиков

Позвольте посмеяться и не поверить.

[rustot]

По второму закону ньютона $F = m_1 a_1 = m_2 a_2 \Rightarrow G\frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 w^2 r_1 = m_2 w^2 (r-r_1) \Rightarrow w^2 = G\frac{m_1+m_2}{r^3}$

Если же одно из них $m_2$ прибить к вселенной гвоздями (приделать к нему ракетный двигатель, компенсирующий силу притяжения второго) то радиус вращения второго увеличивается, становится равным расстоянию между телами $G \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 w'^2 r$, отсюда $w'^2 = G\frac{m_2}{r^3}$

Получается $\frac{w'}{w} = \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1+m_2}}$

[Ingus]

Munin в сообщении #930821 писал(а):

Позвольте посмеяться и не поверить.

в части изложения законов Кеплера...что тут смешного

-- 14.11.2014, 16:39 --

rustot в сообщении #930854 писал(а):

Если же одно из них $m_2$ прибить к вселенной гвоздями

Красота. Вот спасибо! Больше всего понравилось вот это $F = m_1 a_1 = m_2 a_2 \Rightarrow G\frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 w^2 r_1 = m_2 w^2 (r-r_1) \Rightarrow w^2 = G\frac{m_1+m_2}{r^3}$
Значит Ньютон прибил гвоздями тело? Ай-ай. Вот я и думаю.. что то здесь не так. А оно вона как.

[rustot]

Ньютон наоборот открепил тело, прибитое кепплером и нашел какая образуется разница. Это отношение между тем "как оно оказалось" и тем "как считали раньше", а не между двумя реальными ситуациями. Между тем с каким периодом вращаются два тела на самом деле и тем с каким бы вращалось одно если бы второе было и правда неподвижным относительно ИСО, если бы третий закон ньютона не действовал и сила была бы не взаимной

[Ingus]

rustot в сообщении #930870 писал(а):

Между тем с каким периодом вращаются два тела на самом деле и тем с каким бы вращалось одно если бы второе было и правда неподвижным относительно ИСО

Это не то же самое, что "Между тем с каким периодом вращаются два тела на самом деле и тем с каким бы вращалось одно если бы второе было неподвижным относительно ИСО в силу крайней малости массы первого тела"?

[rustot]

Так это то же самое. Хоть мы считаем его неподвижным потому-что не знаем о третьем законе ньютона, хоть считаем его неподвижным потому-что желаем пренебречь малой величиной погрешности

Величина погрешности остается одной и той же, сознательно ли мы ее допустили или по ошибке

[Ingus]

rustot в сообщении #930854 писал(а):

$F = m_1 a_1 = m_2 a_2 \Rightarrow G\frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 w^2 r_1 = m_2 w^2 (r-r_1) \Rightarrow w^2 = G\frac{m_1+m_2}{r^3}$

Здесь $w$ это мгновенная частота вращения пары... А как она связана с периодом обращения?

[Pphantom]

Ingus в сообщении #930787 писал(а):

Вот меньше всего я хочу Вас обмануть.

Да, Вы в основном себя запутываете.

Ingus в сообщении #930787 писал(а):

Это действительно Ньютон, и я не понимаю как формализовать в современной интерпретации это самое его Предложение. Прошу помощи.

Либо у меня deja vu, либо нечто подобное мы уже обсуждали. С тем же промежуточным вопросом - зачем? Зачем Вы пытаетесь чесать правой ногой левое ухо?

Ingus в сообщении #930809 писал(а):

Но остается смысл у выражения отношения периодов от отношения масс

Ох... Как выглядит III закон Кеплера? Вот так:
$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G \, (m_1 + m_2)}$
Когда Вы пытаетесь подставлять в пропорциональность с "константой" в правой части вместо большой полуоси ее зависимость от массы, Вы начисто теряете ту зависимость от массы, которая содержалась в этой правой части. Фактически Вы сначала предполагаете, что массы постоянны, получаете из этого некоторый промежуточный вывод, а потом начинаете их менять. Естественно, что итоговый результат никакого отношения к действительности не имеет.

rustot в сообщении #930854 писал(а):

Получается $\frac{w'}{w} = \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1+m_2}}$

Это если расстояние между телами зафиксировать. Но Ingus вроде бы надо что-то другое (хотя, возможно, я так и не понял, за чем он, собственно, гоняется).

[rustot]

Pphantom в сообщении #930888 писал(а):

Это если расстояние между телами зафиксировать.

так оно в цитате зафиксировано - по той же кривой

-- 14.11.2014, 18:29 --

Ingus в сообщении #930887 писал(а):

Здесь $w$ это мгновенная частота вращения пары... А как она связана с периодом обращения?

А вам круговой орбиты недостаточно? Думаете если расписать эллиптическую то обнаружится что-то другое?

Там кстати дано, а не требуется доказать, что форма орбиты одного тела относительно другого при этом не изменится, а значит во сколько раз отличаются мгновенные угловые скорости во столько отличаются и средние. А период обращения это $2\pi$ делить на среднюю угловую скорость.

[Ingus]

rustot в сообщении #930885 писал(а):

Величина погрешности остается одной и той же, сознательно ли мы ее допустили или по ошибке

и она очевидно равна $\frac{w'}{w} = \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1+m_2}}$
Тогда как быть с этим :
$\frac{T^2}{{T_0}^2} = \frac{{E_0}^3}{E^3}}$
НО $ \frac{{E_0}^3}{E^3}} \ne \alpha $

-- 14.11.2014, 17:36 --

где $\alpha=\frac{M}{M+m}$

-- 14.11.2014, 17:38 --

rustot в сообщении #930889 писал(а):

А период обращения это $2\pi$ делить на среднюю угловую скорость.

А как посчитать среднюю?

-- 14.11.2014, 17:45 --

Pphantom в сообщении #930888 писал(а):

Естественно, что итоговый результат никакого отношения к действительности не имеет.

То есть следующее утверждение неверно?
$\frac{T^2}{{T_0}^2} = \frac{{E_0}^3}{E^3}}$

[rustot]

Ingus в сообщении #930893 писал(а):

Тогда как быть с этим

с чем с "этим", с законами кепплера? ньютон и доказал что они неточны, предполагают отсутствие каких либо сил кроме как со стороны центрального тела к планетам. но не в обратную сторону и не друг к другу. именно на это соотношение и неверны

Ingus в сообщении #930893 писал(а):

А как посчитать среднюю?

дано что орбита одного относительно другого совпадает, меняется только период. тогда средние угловые скорости соотносятся как мгновенные. а как соотносятся мгновенные я показал

очевидно же все, на пальцах. идеальная кепплеровская орбита задается ускорением, которое проходится всегда через одну и ту же точку обратно пропорционально квадрату расстояния до нее. на деле же ускорение проходит через одну и ту же точку (центр масс), но не обратно пропорционально квадрату расстояния до нее, орбита будет другой.