Можно рассмотреть похожую задачу на плоскости: прямая делит две параллельных стороны прямоугольника (параллелограмма) в отношениях

и

. В каком отношении она делит площадь прямоугольника? А если тут применить эту задачу? Призму можно на бочок положить.
Да, точно. Спасибо! Это наблюдение облегчает нахождение площади

, сводя к вычислению параллелограмма. Высота же, опущенная из

без труда находится из высоты в треугольнике

и угла между основанием и боковой гранью, который тоже легко ищется.
Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость

.
Сложите объем пирамид

(Если точку

сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку

сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)
И что будет, если сложить? У них же чёрт знает какое пересечение. Идея про передвижение точки понятна.
А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.
Через векторы проще всего.
С помощью смешанного произведения посчитать объёмы тетраэдров

и

(или преобразовать четырёхугольник к параллелограмму, с помощью идеи выше, и посчитать лишь для одного)?
В первую очередь хотелось бескоординатного решения. Но это, конечно, мысль, и, даже, наиболее удобно, на мой взгляд.
Согласна с gris. Последняя часть задачи аффинная, так что форма и размеры призмы не имеют значения.$[/math]
Можно чуть подробнее раскрыть тему про аффинность?