Теорема Энгеля, алгебры Ли

[Braga]

Теорема Энгеля в учебнике, по которому занимаюсь, говорит о том, что если все элементы подалгебры Ли $L$ алгебры Ли $gl(V)$ нильпотентны, то в $V$ существует базис, в котором все элементы $L$ представлены в виде треугольных матриц, у которых на главной диагонале нули.

Меня интересует выделенное предложение. Что значит "в данном базисе"? Не знаю как это в русской математической литературе, я учу математику по иностранной, и в иностранной литературе всегда говорится "в базисах", имея в виду матрицу линейного отображения, действующую на векторы, записанные в данном базисе и на выходе дающее вектор записанный в некотором другом базисе. То есть матрица $A$ в базисах $X=\lbrace x_1, ... x_n \rbrace$ и $Y=\lbrace y_1,...y_n \rbrace$ будет записана как $X^{-1} A Y$ и будет переводить вектор, записанный в базисе $Y$ в вектор(после действия линейного преобразования), записанный в базисе $X$. Что понимают под матрицой в одном базисе? Это $X^{-1} A X$ или $A X$, то есть переводящая вектор после действия оператора в тот же базис $X$ или в стандартный базис?

Ещё дальше там было, но это уже другое, побочное задание, но тоже связанное с непониманием "матрицы в базисе": пусть $x$ - нилпотентный элемент из $gl(V)$, $v \in V$ такой вектор, что $x(v)=0$. $x': V/span \lbrace v \rbrace \rightarrow V/span\lbrace v \rbrace$ линейное отображение фактор-пространств, индуцированное $x$. Пусть имеется в $V/span \lbrace v \rbrace$ такой базис $V=\lbrace v_1+span \lbrace v \rbrace, ..., v_{n-1}+span \lbrace v \rbrace \rbrace$, что матрица отображения $x'$ в этом базисе представлена в виде треугольной матрицы с нулями на главной диагонале. Доказать, что $\lbrace v, v_1, ... , v_{n-1} \rbrace$ - базис, в котором матрица $x$ - треугольная с нулями на главной диагонале.

В данном задании мне не ясны матрица линейного отображения $x'$, то есть как она выглядит "до" базиса, и в "в базисе", а затем как доказывается то утверждение дальше.

[vanger]

Braga в сообщении #930342 писал(а):

Что значит "в данном базисе"? Не знаю как это в русской математической литературе, я учу математику по иностранной, и в иностранной литературе всегда говорится "в базисах", имея в виду матрицу линейного отображения, действующую на векторы, записанные в данном базисе и на выходе дающее вектор записанный в некотором другом базисе.

Что в русской, что в иностранной математической литературе имеется в виду то, что коль скоро $\mathbf{gl}(V)$ -- это группа автоморфизмов $V$, естественно рассматривать то, как она переводит координаты векторов в данном базисе в координаты в нём же. Т.е. предположение в последнем предложении верное.

Braga в сообщении #930342 писал(а):

В данном задании мне не ясны матрица линейного отображения $x'$, то есть как она выглядит "до" базиса, и в "в базисе", а затем как доказывается то утверждение дальше.

В смысле "матрица выглядит до базиса"? Мы знаем, что в факторпространстве матрица $x'$ строго верхнетреугольная. Т.е. какая-то её степень убивает любую линейную комбинацию $v_1 + \mathrm{span} \{v\}, \ldots, v_{n-1} + \mathrm{span} \{v\}$. Т.е. какая-то степень $x$ убивает любую линейную комбинацию $v_1, \ldots, v_{n-1}$. Но $x$ и $v$ убивает. Т.о. матрица $x$ получается из $x'$ приклеиванием ей слева столбца из $n$ нулей и сверху строки из $(n-1)$ чего-то.