Доказать два факта из теории полей...

[Mcicool]

1. Требуется показать, что неприводимый нормированый многочлен f, пренадлежащий полю F_p[x] степени m делит $x^{p^n}$- x тогда и только тогда, когда m делит n.

2. Пусть р - простое число, $n\geqslant 1$ - целое. Доказать, что (a+b)*p^n сравнимо с $a^{p^n}$ + $b^{p^n}$ по модулю р. И (a+b)^q = a^q + b^q в поле F_q, q=p^n.

Буду очень благодарен, если кто поможет.

[RIP]

Во второй задаче доказывайте индукцией по $n$, используя формулу бинома Ньютона. Кстати, в поле $\mathbb F_q$ $(a+b)^q=a+b=a^q+b^q$.

Решение первой задачи зависит от того, что Вам известно из теории конечных полей. По сути в ней утверждается, что поле $\mathbb F_{p^m}$ является подполем поля $\mathbb F_{p^n}$ (эти поля рассматриваются в одном и том же алгебраическом замыкании поля $\mathbb F_p$) тогда и только тогда, когда $m$ делит $n$.

[нг]

Mcicool
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

Возвращено // PAV

[Mcicool]

А можно поподробнее доказательство....

[RIP]

Mcicool писал(а):

А можно поподробнее доказательство....

Доказательство чего?

Во второй задаче подробнее вроде некуда, разве только готовое решение написать.

В первой задаче воспользуйтесь тремя фактами:
Для корня $\theta$ неприводимого многочлена $f(x)\in\mathbb F_p[x]$ степени $m$ выполнено $\mathbb F_p(\theta)=\mathbb F_{p^m}$.
$\mathbb F_{p^m}$ --- поле разложения многочлена $x^{p^m}-x$.
$\mathbb F_{p^m}\subset\mathbb F_{p^n}\quad\Leftrightarrow\quad m\mid n$.

[Mcicool]

Да вот хотелось бы получить готовое решение (не сочтите за наглость). Просто сам я написать не могу. Особенно первую, ее полюбому не смогу, а да и вторую тоже....

[PAV]

Mcicool,

то, чего Вы хотите, не разрешается правилами данного раздела. Здесь помогают разобраться в предмете, но не решают задачи за других.

[Mcicool]

Хорошо, тогда что нам дают те три факта, которые RIP перечислил? (по поводу первой задачи)

[RIP]

С помощью первых двух фактов сведите задачу к третьему факту.

[Mcicool]

Хм, в первой чето не понятно с чего даже начинать. А вот во второй, насчет бинома, как его использовать, чтобы доказать, что (a+b)*p^n сравнимо с $a^{p^n}$ + $b^{p^n}$ по модулю р?
Я не понимаю...

[ИСН]

Раскройте бином и посмотрите, какие из слагаемых делятся на...

[RIP]

Причём достаточно это проделать при $n=1$.

[Mcicool]

ИСН писал(а):

Раскройте бином и посмотрите, какие из слагаемых делятся на...

на... р, насколько я понял ). Делятся все, кроме a^p и b^p. И это означает, что они все нули и мы имеем наше равенство? Если да, то как же доказать первый факт про сравнение?

Добавлено спустя 1 час 9 минут 2 секунды:

А вот с первой я совсем не понимаю, как факты использовать.

[Mcicool]

Пусть F - произвольное поле Доказать, что всякая конечная подгруппа мультипликативной группы F* поля F является циклической.

Вроде как бы это очевидно, только вот формально доказать, не знаю как....

[maxal]

Mcicool, раз уж вы начали тему о задачах по конечным полям, так и продолжайте ее по мере возникновения новых вопросов, а не плодите новые темы.