неравенство , элементарное решение?(Олимпиада Шелковый путь)

[rightways]

Для любых $a,b,c>0$ выполненяется неравенство
$a^3+b^3+c^3-3abc \ge M(|a-b|^3+|b-c|^3+|c-a|^3)$

Найдите max$M$.

[Edward_Tur]

Если $a$ устремить к бесконечности, а $b$ и $c$ к нулю, получим $M\le\frac{1}{2}$.
Доказать неравенство для $M=\frac{1}{2}$ достаточно просто: не ограничивая общности, считаем, что $a\ge b\ge c$. Получим квадратный трёхчлен относительно $a$ с неположительным дискриминантом $-5b^3-13c^3-3b^2c+21bc^2\le0$.