О числе классов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Мы проверили, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$ для всех простых чисел $n<100$.
Эта тема посвящена попыткам доказать, что это число классов равно $1$ для любого простого числа $n$.
Первым шагом на пути к доказательству этого могло бы стать вычисление значения Дзета-функции Дедекинда.
Сначала мы дадим определение этой функции и покажем, как она связана с числом классов идеалов.
Эта связь является классической теоремой теории алгебраических чисел.
Затем мы покажем связь между значением этой функции для полей $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и $\mathbb{Q}[i_n]$, где $i_n$ - комплексный корень $n$-ой степени из $1$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Пусть $K$ - поле алгебраических чисел.
Его дзета-функция Дедекинда сначала определяется для комплексных чисел $s$, действительная часть которых больше единицы:

$\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\mathbf{Q}} (I))^{s}}$,

где $I$ пробегает все ненулевые идеалы кольца $\mathcal{O}_K$ целых алгебраических чисел поля $K$ и $N_{K/\mathbf{Q}} (I)$ обозначает норму идеала $I$ в расширении $K/Q$.
Эта сумма сходится абсолютно для всех комплексных чисел чисел $s$ с действительной частью $\operatorname{Re}(s) > 1$.

Дзета-функция Дедекинда разлагается в бесконечное произведение:

$\zeta_K (s) = \prod_{P \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{1 - (N_{K/\mathbf{Q}}(P))^{-s}}$,

при $\operatorname{Re}(s)>1$, где $P$ пробегает все простые идеалы кольца $\mathcal{O}_K$.

Cуществует формула связывающая значение предела $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s)$ c числом классов идеалов и регулятором поля $K$:

$\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot h_K \cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}$

Мы пока не будем уточнять смысл всех параметров, входящих в правую часть этого равенства.
Заметим только, что $h_K$ - число классов идеалов, $\operatorname{Reg}_K$ - регулятор поля $K$, а остальные параметры легко вычисляются.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Регулятор $\operatorname{Reg}_K$ трудно вычислить, поскольку он зависит от фундаментальных делителей единицы поля $K$, которые трудно найти.
Пусть $n>2$ - простое число.
Куммер вычислил предел $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_F(s)$ для поля $F=\mathbb{Q}[i_n]$ и сумел получить важную информацию о числе классов идеалов этого поля, не вычисляя регулятора.
Наша задача вычислить предел $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s)$ для поля $K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.
Я обнаружил, что вычисление предела $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s)$ сводится к вычислению предела $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_F(s)$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Докажем следующую теорему:

Теорема
-------------

Пусть $F=\mathbb{Q}[i_n], K=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.

Пусть $p_1, p_2, ...$ - все простые числа по модулю который $\sqrt[n]{2}$ не существует, то есть нет такого вычета $x$, что $x^n \equiv 2$ по модулю $p_i$, где $i=1, 2, ...$.

Пусть $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}..., B=\frac{1}{1-p_1^{-s n}}\frac{1}{1-p_2^{-s n}}...$.

Пусть $C=(\frac{1}{1-2^{-s}})^n/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/m_2}$, где $m_2$ - наименьшее целое положительное число, для которого $2^{m_2} \equiv 1$ по модулю $n$.

Тогда

(1) $\zeta_K (s)=\zeta_F (s) \zeta(s) C B/A^n$,

где $\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}, $ - дзета-функция Римана.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправление: $C=(1-n^{-s})/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/m_2}$ или $C=1/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/m_2}$, если $2^n \equiv 2$ по модулю $n^2$.

Доказательство
----------------------

Пусть $p \ne 2, n$ - простое число не сравнимое с $1$ по модулю $n$.
Пусть $m_p$ - наименьшее целое положительное число, для которого $p^{m_p} \equiv 1$ по модулю $n$.
Мы показали, что в разложении числа $p$ в произведение простых идеалов поля $K$ есть один простой идеал с нормой $p$ и $(n-1)/m_p$ простых идеалов с нормой $p^{m_p}$.
В разложении числа $p$ в произведение простых идеалов поля $F$ есть $(n-1)/m_p$ простых идеалов с нормой $p^{m_p}$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $K$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$, умноженному на множитель $\frac{1}{1-p^{-s}}$, который входит в дзета-функцию Римана.

Пусть теперь $p=n$. И в поле $F$, и в поле $K$, число $n$ является $n$-ой степенью простого идеала.
Поэтому произведение $n$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $K$ равно произведению $n$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$.
Но если $2^n \equiv 2$ по модулю $n^2$, то, как мы показали, в поле $K$, $n=\rho_1^{n-1} \rho$, где $\rho_1$ и $\rho$ - различные простые идеалы с нормой $n$.
Учитывая, что в дзета-функцию Римана $\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}$ входит множитель $\frac{1}{1-n^{-s}}$, то мы разделили $C$ на этот множитель, в случае, если $2^n \not \equiv 2$ по модулю $n^2$.

Пусть теперь $p=2$. В полe $F$, число $2$ является произведением $(n-1)/m_2$ простых идеалов с нормой $2^{m_2}$, из чего следует знаменатель числа $C$.
В поле $K$, число $2$ является является $n$-ой степенью простого идеала, но мы не включили в $C$ множитель $\frac{1}{1-2^{-s}}$, поскольку он входит в в дзета-функцию Римана.

Пусть теперь $p \equiv 1$ по модулю $n$, и $\sqrt[n]{2}$ существует по модулю $n$.
В поле $F$, число $p$ разлагается в произведение $n-1$ различных простых идеалов с нормой $p$.
В поле $K$, число $p$ разлагается в произведение $n$ различных простых идеалов с нормой $p$.
Отличием является множитель $\frac{1}{1-p^{-s}}$, входящий в дзета-функцию Римана.

Пусть теперь $p \equiv 1$ по модулю $n$, и $\sqrt[n]{2}$ не существует по модулю $n$.
В поле $F$, число $p$ разлагается в произведение $n-1$ различных простых идеалов с нормой $p$.
В поле $K$, число $p$ является простым идеалом с нормой $p^n$.
Отсюда множитель $B$ и множитель $1/A^{n-1}$.
Но, поскольку множитель $A$ входит в дзета-функцию Римана, то чтобы компенсировать его, нужно множить на $1/A^n$.
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Я не знаю, что делать дальше, но немного порассуждаю.
Хорошо бы установить связь между регуляторами двух полей.
Для этого можно рассмотреть поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}, i_n]$ и попробовать установить связь между его регулятором и регуляторами каждого из полей $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и $\mathbb{Q}[i_n]$.
Я читал, что существует понятие относительного регулятора двух полей, из которых одно содержится в другом.
Относительный регулятор равен отношению регуляторов этих полей.
Относительный регулятор зависит от множества относительных делителей единицы.
Относительными делителями единицы называются делители единицы, относительная норма которых является корнем из единицы.
К сожалению, я не нахожу подробного обсуждения этих понятий в математической литературе.
Можно пойти другим путём: найти регуляторы полей $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и $\mathbb{Q}[i_n]$ для простых $n$ от $1$ до $100$ и посмотреть есть ли между ними связь.
Кроме этого, неплохо бы проверить для этих $n$ доказанную теорему и убедиться что в ней нет ошибок.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Поставим скромную цель: проверить доказанную теорему для $n=3, 5, 7, 11, 13$.
Вычислим регуляторы, дискриминанты и отношение правых частей равенства

(2) $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot h_K \cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}$

для этих $n$ в математической программе "Sage":

n=13;
K.<a>=NumberField(x^n-2);
F.<a>=NumberField((x^n-1)/(x-1));
RegK=K.regulator();
DK=K.discriminant();
RegF=F.regulator();
DF=F.discriminant();
(RegK/sqrt(DK))/(RegF/(sqrt(DF)*2*n))

Получим следующие значения для отношения правых частей поля $K$ к полю $F$:

$1.34737734832938, 2.51185402988400, 3.18581507957370, 3.94165258166115, 5.09811317411184$

соответственно для $n=3, 5, 7, 11, 13$.
Мы использовали то, что число классов идеалов для этих $n$ равно $1$ для обоих полей, что число корней из единицы для поля $K$ равно $2$, а для поля $F$ равно $2 n$ и, что для поля $K: r_1=1, r_2=(n-1)/2$,
а для поля $F: r_1=0, r_2=(n-1)/2$.

При $s \to 1$, число $C$ легко вычисляется, а $B$ стремится к значению, близкому к единице.
Для $B$ это значение больше единицы, но меньше значения дзета-функции Римана в точке $n$, которое равно приблизительно $1.2, 1.03, 1.008$ соответственно для $n=3, 5, 7$.
Эти значения получены из таблицы значения дзета-функции Римана в Википедии.
Для $C$ это значение меньше $1$ и равно $0.5, 0.75, 0.65625, 0.908203125, 0.9228515625$, соответственно для $n=3, 5, 7, 11, 13$.
Эти значения вычислены следующим кодом на UBASIC:

10 input n
20 m2=0
30 for i=1 to n-1
40 v=2^i-1
50 if v=n*int(v/n) and m2=0 then m2=i
60 next i
70 print (1-n^(-1))/(1/(1-2^(-m2)))^((n-1)/m2)
80 end

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

С проверкой доказанной теоремы возникли сложности.
Мне не удаётся вычислить бесконечное произведение $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}...$, скажем для $s=1.001$.
Я могу вычислить частичное произведение, используя таблицу первых 10 или 100 миллионов простых чисел.
Но достаточно ли этого количества?
Чтобы ответить на этот вопрос, я попробовал вычислить бесконечное произведение дзеты-функции Римана, то есть $\frac{1}{1-q_1^{-s}}\frac{1}{1-q_2^{-s}}...$, где $q_1, q_2, ...$ - все простые числа.
Известно, что при $s=1.001$, дзета-функция Римана примерно равна $1000$.
Но произведение первых 5 миллионов членов этого бесконечного произведения равно примерно $32$ при том, что произведение первых 500 тысяч членов равно примерно $28$.
Значит, произведение следующих 4.5 миллионов членов увеличит значение $31$ не намного.
Как же можно получить $1000$ - настоящее значение дзеты функции Римана для $s=1.001$?

[Sonic86]

Феликс Шмидель в сообщении #942364 писал(а):

Мне не удаётся вычислить бесконечное произведение $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}...$, скажем для $s=1.001$.
Я могу вычислить частичное произведение, используя таблицу первых 10 или 100 миллионов простых чисел.

Вам нужно вычислять самую обычную дзета-функцию?
Если да, то этот вопрос немного обсуждался в этой теме: topic72734.html

[Феликс Шмидель]

Нет, мне нужно вычислить бесконечное произведение $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}...$,
где в отличие от обычной дзета-функции Римана, множество простых чисел $p_1, p_2, ...$ не является множеством всех простых чисел.
Простые числа $p_1, p_2, ...$ сравнимы с $1$ по модулю $n$ и выбираются из этого класса чисел определённым способом.
Я занялся вычислением обычной дзета-функции Римана только потому, что бесконечное произведение $\frac{1}{1-p_m^{-s}}\frac{1}{1-p_{m+1}^{-s}}...$ меньше соответствующего бесконечного произведения обычной дзета-функции Римана для любого индекса $m$.
Если бы последнее произведение было близко к $1$, то первое произведение тоже.
Но для этого (при $s=1.001$) индекс $m$ должен быть очень большим, гораздо больше, чем 100 миллионов доступных мне простых чисел.
Поэтому прямая проверка доказанной в этой теме теоремы невозможна.
Это не значит, что нельзя проверить эту теорему другим способом.

[Феликс Шмидель]

Феликс Шмидель в сообщении #936028 писал(а):

Пусть теперь $p=n$. И в поле $F$, и в поле $K$, число $n$ является $n$-ой степенью простого идеала.

Не совсем так. В поле $F$ число $n$ является $n-1$-ой степенью простого идеала.
Это исправление не меняет доказательства, поскольку норма этого простого идеала равна $n$.

-- Ср дек 10, 2014 13:41:20 --

Феликс Шмидель в сообщении #942971 писал(а):

Это не значит, что нельзя проверить эту теорему другим способом.

Например, можно найти соотношение между дзета-функцией Дедекинда поля $\mathbb{Q}[i_n]$ и поля $\mathbb{Q}[i_n, \sqrt[n]{2}]$ и вычислить значение числа $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}...$ исходя из этого соотношения.
Если это значение совпадёт со значением вычисленным из доказанной теоремы, то она, скорее всего верна.
А если нет, то нужно будет искать ошибку.

[Феликс Шмидель]

Я почти уверен, что не совпадёт, но кто боится ошибок, тот не должен заниматься ВТФ.
Поэтому присвоим доказанной теореме номер 1, выведем из неё следствие, затем докажем теорему 2, выведем из неё следствие, вычислим $\lim_{s \to 1} \sqrt[n]{s-1} A$ на основании этих следствий и сравним результаты вычислений.

Следствие из теоремы 1.
--------------------------------

(2) $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s)=(\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_F(s)) (\lim_{s \to 1} C)(\lim_{s \to 1} B)/(\lim_{s \to 1} \sqrt[n]{s-1} A)^n$.

Доказательство
----------------------

Помножим равенство (1) на $s-1$ и возьмём предел при ${s \to 1}$. Для вычисления предела правой части равенства (1) дополнительно помножим числитель и знаменатель этой части на $s-1$.
Используя известную теорему о том, что $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta(s)=1$, получим равенство (2).
Что и требовалось.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Теорема 2
---------------

Пусть $F=\mathbb{Q}[i_n], L=\mathbb{Q}[i_n, \sqrt[n]{2}]$.

Пусть $p_1, p_2, ...$ - все простые числа по модулю который $\sqrt[n]{2}$ не существует, то есть нет такого вычета $x$, что $x^n \equiv 2$ по модулю $p_i$, где $i=1, 2, ...$.

Пусть $A=\frac{1}{1-p_1^{-s}}\frac{1}{1-p_2^{-s}}..., B=\frac{1}{1-p_1^{-s n}}\frac{1}{1-p_2^{-s n}}...$.

Пусть $C=(1-n^{-s})/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/m_2}$ или $C=1/(\frac{1}{1-2^{-s m_2}})^{(n-1)/m_2}$, если $2^n \equiv 2$ по модулю $n^2$, где $m_2$ - наименьшее целое положительное число, для которого $2^{m_2} \equiv 1$ по модулю $n$.

Тогда

(3) $\zeta_L (s)=(\zeta_F (s))^n (C B/A^n)^{n-1}$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Доказательство
----------------------

Пусть $p \ne 2, n$ - простое число не сравнимое с $1$ по модулю $n$.
Пусть $m_p$ - наименьшее целое положительное число, для которого $p^{m_p} \equiv 1$ по модулю $n$.
В разложении числа $p$ в произведение простых идеалов поля $F$ есть $(n-1)/m_p$ простых идеалов с нормой $p^{m_p}$: $p=P_1...P_{(n-1)/m_p}$
Любой из идеалов $P_i$ разлагается в поле $L$ в произведение $n$ простых идеалов.
Норма каждого из этих идеалов равна $N(P_i)=p^{m_p}$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$.

Пусть теперь $p=n$.
В поле $F$, число $n$ является $n-1$-ой степенью простого идеала $i_n-1$, норма которого равна $n$.
Если $2^n-2$ делится на $n^2$, то $i_n-1$ разлагается в поле $L$ в произведение $n$ простых идеалов.
В этом случае произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$.
Если $2^n-2$ не делится на $n^2$, то $i_n-1$ является $n$-ой степенью простого идеала поля $L$.
В этом случае произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$.
То есть произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$, делённому на последнее произведение в степени $n-1$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$, делённому на $(1/(1-n^{-s}))^{n-1}$.

Пусть теперь $p=2$.
В полe $F$, число $2$ является произведением $(n-1)/m_2$ простых идеалов с нормой $2^{m_2}$:$2=P_1...P_{(n-1)/m_2}$.
Любой из идеалов $P_i$ является $n$-ой степенью простого идеала поля $L$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$.
То есть произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$, делённому на последнее произведение в степени $n-1$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$, делённому на $((1/(1-2^{-s m_2}))^{(n-1)/m_2})^{n-1}$.

Из рассмотренных случаев $p=n$ и $p=2$ следует множитель $C^{n-1}$.

Пусть теперь $p \equiv 1$ по модулю $n$, и $\sqrt[n]{2}$ существует по модулю $n$.
В поле $F$, число $p$ разлагается в произведение $n-1$ различных простых идеалов с нормой $p$:$p=P_1...P_{n-1}$.
Любой из идеалов $P_i$ разлагается в поле $L$ в произведение $n$ простых идеалов.
Норма каждого из этих идеалов равна $N(P_i)=p$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$.

Пусть теперь $p \equiv 1$ по модулю $n$, и $\sqrt[n]{2}$ не существует по модулю $n$.
В поле $F$, число $p$ разлагается в произведение $n-1$ различных простых идеалов с нормой $p$:$p=P_1...P_{n-1}$.
Любой из идеалов $P_i$ (умноженный на множество всех алгебраических чисел поля $L$) является простым идеалом в поле $L$, норма которого равна $p^n$.
Значит для поля $F$ имеем множитель $A^{n-1}$, а для поля $L$ - множитель $B^{n-1}$.
Значит произведение $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $L$ равно произведению $p$-множителей в дзета-функции Дедекинда поля $F$ в степени $n$, умноженному на $B^{n-1}/A^{n(n-1)}$.

Поскольку $C^{n-1}B^{n-1}/A^{n(n-1)}=(C B/A^n)^{n-1}$, то получается равенство (3).
Что и требовалось.

-- Ср дек 10, 2014 20:06:24 --

Следствие из теоремы 2.
--------------------------------

(4) $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_L(s)=(\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_F(s))^n ((\lim_{s \to 1} C)(\lim_{s \to 1} B)/(\lim_{s \to 1} \sqrt[n]{s-1} A)^n)^{n-1}$.

Доказательство
----------------------

В правой части равенства множитель $s-1$ входит в числитель в степени $n$, а в знаменатель в степени $n-1$, поэтому умножая равенство (3) на $s-1$ и переходя к пределу при $s \to 1$ получим равенство (4).
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Я ошибся в нумерации формул: две различные формулы получили номер (2).
Чтобы исправить это дадим номер (2.0) следующей формуле:

(2.0) $\lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot h_K \cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}$

Вычислим теперь правую часть равенства (2.0) для полей $F$ и $L$ при $n=5$ в программе "Sage":

n=5;
F.<a>=NumberField((x^n-1)/(x-1));
T.<b>=F.extension(x^n-2);
L=T.absolute_field('c');
RegF=F.regulator();
ClnF=F.class_number();
DF=F.discriminant();
RegL=L.regulator();
ClnL=L.class_number();
DL=L.discriminant();
mypi=kash(pi);
RightPartF=(2*mypi)^((n-1)/2)*RegF*ClnF/(kash(sqrt(abs(DF)))*2*n); RightPartF
RightPartL=(2*mypi)^(n*(n-1)/2)*RegL*ClnL/(kash(sqrt(abs(DL)))*2*n); RightPartL

Получим:

0.339837278240523551355618035404
0.180439940617031706465733788985

Продолжение следует.

-- Ср дек 10, 2014 23:23:23 --

Теперь добавим код для сравнения интересующих нас величин:

n=5;
F.<a>=NumberField((x^n-1)/(x-1));
K.<v>=NumberField(x^n-2);
T.<b>=F.extension(x^n-2);
L=T.absolute_field('c');
RegF=F.regulator();
ClnF=F.class_number();
DF=F.discriminant();
RegL=L.regulator();
ClnL=L.class_number();
DL=L.discriminant();
RegK=K.regulator();
ClnK=K.class_number();
DK=K.discriminant();
mypi=kash(pi);
RightPartF=(2*mypi)^((n-1)/2)*RegF*ClnF/(kash(sqrt(abs(DF)))*2*n); RightPartF
RightPartL=(2*mypi)^(n*(n-1)/2)*RegL*ClnL/(kash(sqrt(abs(DL)))*2*n); RightPartL
RightPartK=(2*mypi)^((n-1)/2)*RegK*ClnK/kash(sqrt(abs(DK))); RightPartK
RightPartK/RightPartF
(RightPartK/RightPartF)^(n-1)
RightPartL/RightPartF^n

Получим:

0.339837278240523551355618035404
0.180439940617031706465733788985
0.853621636853270754353819247483
2.51185402988400437517392603921
39.8086629704626117946215416379
39.8086629704626174663244218025

Нас интересует сравнение двух последних величин.
Хорошо, что есть совпадение, плохо что не полное совпадение.