Объяснение вероятности финального матча.

[xolodec]

В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра продолжалась до шести побед одного из участников. Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает $k$ очков.

Задача, кажется не сложная, а вот ответ не сходится у меня почему-то.
Я получил такой ответ $C_{k+5}^k p^5 q^k \cdot p $, где $p = q = 0,5$
А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$. То есть составители не учитывают, что последняя победа может не достаться победителю матча. Я понимаю в целом задачу, однако с объяснением факта отсутствия финального $p$ у меня проблемы.

Понятно, что проигравший не может выиграть последнюю игру, потому что тогда рассчитанная вероятность будет вероятностью того, что он наберет $k+1$ очко. Это корректное объяснение ? Как правильно обьяснить факт отсутствия финального $p$ в правильном решении ?

[provincialka]

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

То есть составители не учитывают, что последняя победа может не достаться победителю матча

Каким образом?

[xolodec]

Понятно, что это было бы по меньшей мере странно ). Однако все же, как должен звучать правильное полное обоснование ?

[Евгений Машеров]

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

То есть составители не учитывают, что последняя победа может не достаться победителю матча.

Но как?! Игра, на которой завершается матч, является шестой победой игрока, выигравшего матч. Победой его противника она быть не может, поскольку тогда это либо это решающий (шестой) выигрыш его противника (что противоречит предположению о выигрыше данного игрока), либо она не завершает матч в пользу выигравшего игрока (что противоречит предположению, что она последняя).

[--mS--]

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

где $p = q = 0,5$

Вы учли, что победить может как тот, так и другой?

[xolodec]

Евгений Машеров в сообщении #929608 писал(а):

Игра, на которой завершается матч, является шестой победой игрока, выигравшего матч.

Действительно, признаю, был не прав.

--mS-- в сообщении #929612 писал(а):

Вы учли, что победить может как тот, так и другой?

В ответе, к примеру для $k=0$ указано, что вероятность равна $q_0 = \frac{1}{32}$, а для $k=1~$ : $~q_1 = \frac{3}{32}$, то есть не учитывается (не домножается на 2), что проигравшим может быть любой из двух.

Это странно, на мой взгляд. Все-таки как правильно ? Учитывать, как советует --mS--, или не учитывать, как утверждают Зубков, Севастьянов и Чистяков?

Если бы $p \ne q$, то вероятность нужно было бы считать как сумму вероятностей что первый наберет k очков и проиграет и что второй наберет k очков и проиграет:

$$C^k_{k+5}p^k\cdot q^5 + C^k_{k+5}p^5\cdot q^k $$

Но значит и в случае $p = q$ нужно также домножить ответ на два.
Значит у авторов опечатка?

[Geen]

xolodec в сообщении #1007098 писал(а):

Значит у авторов опечатка?

Найдите сумму по всем $k$

[xolodec]

Geen в сообщении #1007135 писал(а):

Найдите сумму по всем $k$

Стало быть не опечатка. Действительно, сумма будет равна единице.
Кстати, как ее посчитать не прибегая к калькулятору? Это же не бином Ньютона, потому что индекс нижний меняется.

То есть, действительно, домножать не нужно.
Но почему ? В случае $q \ne p$ ведь совершенно необходимо разбивать на сумму двух вероятностей : либо один победит, а другой проиграет ровно $k$ раз, либо наоборот.

[--mS--]

Каким образом может быть $p\neq q$, если по условию игроки равные по силе?

Что там я "предлагаю не учитывать", не поняла.

[xolodec]

--mS-- в сообщении #1007212 писал(а):

Каким образом может быть $p\neq q$, если по условию игроки равные по силе?

xolodec в сообщении #1007098 писал(а):

Если бы $p \ne q$, то вероятность нужно было бы считать как сумму вероятностей

Я не говорю, что в данной задаче, $p \ne q$, я говорю лишь, что если бы $p \ne q$, то считать вероятность нужно было бы иначе, посольку значение вероятности проигравшему выиграть $k$ очков зависела бы от того, кто этот проигравший (p или q?). Если я плохо изъяснился, прошу меня простить.

--mS-- в сообщении #1007212 писал(а):

Что там я "предлагаю не учитывать", не поняла.

--mS-- в сообщении #929612 писал(а):

Вы учли, что победить может как тот, так и другой?

Почему в этой задаче не учитывается, что

Цитата:

победить может как тот, так и другой?

Ну то есть я имею в виду, что если бы, положим, $p \ne q$, то искомая вероятность набора проигравшим $k$ очков складывалась бы из:

• вероятности набора первым человеком k очков и победой второго
• вероятности набора вторым человеком k очков и победой первого

Так почему в данной симметричной задаче мы не учитываем, что

Цитата:

победить может как тот, так и другой?

[--mS--]

О, боже мой. Прочтите своё стартовое сообщение и убедитесь, что Вы в нём НЕ учли, что победить может как тот, так и другой. Перевожу свой комментарий: "Учли ли Вы, что победить может как тот, так и другой?"

[xolodec]

--mS-- в сообщении #1007349 писал(а):

О, боже мой. Прочтите своё стартовое сообщение и убедитесь, что Вы в нём НЕ учли, что победить может как тот, так и другой. Перевожу свой комментарий: "Учли ли Вы, что победить может как тот, так и другой?"

Я прошу прощения, что, видимо, плохо изъяснился.
Я понимаю, что НЕ учел в своем ответе то, что победить может как тот, так и другой.
Ваш вопрос

Цитата:

"Учли ли Вы, что победить может как тот, так и другой?"

ставит меня в тупик, потому что я понимаю, что НЕ учел это с одной стороны, а с другой стороны мой ответ сошелся с тем, что в задачнике.
Формально, если учитывать то, что выиграть может любой, то искомая вероятность должна выражаться вот так: $C^5_{k+5}p^5q^k +C^5_{k+5}q^5p^k $.

Можете указать мне, пожалуйста, на то, где я запутался и что, по-вашему, неверно?

[Geen]

А почему у Вас только пятая степень?...

[--mS--]

Подставьте в свой ответ $p=q=1/2$ и сравните с тем, что в задачнике. В ответе в задачнике Севастьянова, Чистякова и Зубкова нет никаких $p$ и $q$.

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

Задача, кажется не сложная, а вот ответ не сходится у меня почему-то.
Я получил такой ответ $C_{k+5}^k p^5 q^k \cdot p $, где $p = q = 0,5$
А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$.

xolodec в сообщении #1007371 писал(а):

Ваш вопрос

Цитата:

"Учли ли Вы, что победить может как тот, так и другой?"

ставит меня в тупик, потому что я понимаю, что НЕ учел это с одной стороны, а с другой стороны мой ответ сошелся с тем, что в задачнике.

Давайте уж определимся, сошелся или не сошелся.

[xolodec]

Geen в сообщении #1007384 писал(а):

А почему у Вас только пятая степень?...

Простите, Вы тему читали ? Это и было моим изначальным вопросом:

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

Я получил такой ответ $C_{k+5}^k p^5 q^k \cdot p $, где $p = q = 0,5$
А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$. То есть составители не учитывают, что последняя победа может не достаться победителю матча. Я понимаю в целом задачу, однако с объяснением факта отсутствия финального $p$ у меня проблемы.

Я изначально указывал, что финальное $p$ не нужно, и мне Евгений Машеров это растолковал, огромное человеческое спасибо ему за это.


Уважаемая --mS--, за что и зачем Вы надо мной издеваетесь ?

--mS-- в сообщении #1007385 писал(а):

Подставьте в свой ответ $p=q=1/2$ и сравните с тем, что в задачнике. В ответе в задачнике Севастьянова, Чистякова и Зубкова нет никаких $p$ и $q$.

В задаче 2.55 из этого сборника ответ дан в следующем виде: $C^k_{5+k}\cdot 2^{-5-k}$. Что полностью совпадает с

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$

при подстановке

Цитата:

в свой ответ $p=q=1/2$

. Или это важно в данной задаче, чтобы нигде не писать $p,q$, а вместо них писать $1/2$? Почему?

--mS-- в сообщении #1007385 писал(а):

Давайте уж определимся, сошелся или не сошелся.

Я же сразу написал, что

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

Я понимаю в целом задачу, однако с объяснением факта отсутствия финального $p$ у меня проблемы.

B после того, как мне Евгений Машеров объяснил, я это понял:

xolodec в сообщении #1007098 писал(а):

Действительно, признаю, был не прав.

Я ни в коем случае не хочу никого оскорбить, и уверен, что, если бы предыдущие сообщения были направлены на конструктивное понимание, проблема уже была бы исчерпана.

Уважаемая --mS--, Вы не могли бы подсказать мне, в чем я не прав, чтобы я это осознал и не отнимал у Вас драгоценного времени?
На текущий момент обсуждения единственный камень преткновения - недопонимание того, что изначально мной предполагался правильный ответ в виде $C_{k+5}^k p^5 q^k$ и в этом ответе, на мой взгляд, не учитывается то, что проиграть может любой из двух. Если я в этом ошибаюсь, пожалуйста, поправьте меня.

Еще раз прошу извинения за сложившееся недопонимание и очень хотел бы его устранить.