Частные производные сложной функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачкой:

Найти производную $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ сложной функции

$$f \left ( xy^2 ; \frac{x}{y^2} \right )$$

Мои мысли:

Пусть

$$ u = u(x,y) = xy^2$$

$$v = v (x,y) = \frac{x}{y^2}$$

Тогда

$$f \left ( xy^2 ; \frac{x}{y^2} \right ) = f(u,v)$$

$$\frac{\partial f}{\partial x } = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y^2 + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{1}{y^2}$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right ) = \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y^2 + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{1}{y^2} \right ) = \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y^2 \right ) + \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{1}{y^2} \right )$$

А вот дальше непонятно: получившиеся слагаемые нужно дифференцировать по правилу производной произведения?

[Otta]

Да. Весь вопрос в том, насколько верно Вы это будете делать.

[Limit79]

Otta

$$\frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y^2 \right ) + \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{1}{y^2} \right ) = \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial y} \cdot y^2 + \frac{\partial f}{\partial u} \cdot 2y + \frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y} \cdot \frac{1}{y^2} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \left ( - \frac{2}{y^3} \right )$$

Меня несколько настораживают $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y}$, но как иначе записать $\frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \right )$ и $ \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial v} \right ) $ не зная конкретной функции $f$ я не знаю

[Otta]

Limit79 в сообщении #929567 писал(а):

Меня несколько настораживают $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y}$,

Правильно настораживают, их быть не должно. В записи производных допустимо дифференцирование либо только по зависимым переменным $(u,v)$, либо только по независимым $(x,y)$.

[iifat]

В точности так же, как вы это сделали для первой производной. Почему у вас там в результате отсутствует $\frac{\partial f}{\partial x}$?

[demolishka]

Limit79 в сообщении #929567 писал(а):

Меня несколько настораживают $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y}$, но как иначе записать $\frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \right )$ и $ \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial v} \right ) $ не зная конкретной функции $f$ я не знаю

А вы подпишите в каких точках у вас производные берутся. И все станет понятно.

[Limit79]

Otta
iifat

$$\frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot y^2 \right ) + \frac{\partial}{ \partial y} \left ( \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{1}{y^2} \right ) = $$

$$=\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial u^2 } \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right ) \cdot y^2 + \frac{\partial f}{\partial u} \cdot 2y + \left ( \frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2 f}{ \partial v^2} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right ) \cdot \frac{1}{y^2} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \left ( - \frac{2}{y^3} \right )$$

Так?

[Otta]

Ну да, известные частные производные только подставьте, и будет совсем хорошо.

[Limit79]

Otta
iifat
Спасибо, понял!

И еще один совсем маленький вопрос, если задание выглядит так:

Найти производную $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial u}$ сложной функции

$$f \left ( xy^2 ; \frac{x}{y^2} \right )$$

(поменялась производная)

То такое задание некорректно, так как неизвестно, что такое $u$?

[bot]

Limit79 в сообщении #929576 писал(а):

То такое задание некорректно, так как неизвестно, что такое $u$?

вопрос точка. Ну или просто нуль, так как функция от переменной $u$ не зависит.

[Limit79]

bot
Спасибо.