Окружности и треугольник

[KPEHgEJIb]

Пусть $p$ и $q$ - радиусы двух окружностей, проходящих через точку $A$ и касающихся стороны $BC$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Доказать, что $pq = R^2$



По-идее $c=2p\sin B= \frac{pb}{R}$
$b=2q\sin C= \frac{qc}{R}$, но вот что с этим дальше делать я не знаю.

Судя по всему я не понял задачу и мой рисунок неверен. Помогите разобраться

[Brukvalub]

\[ p = \frac{{AB}}{{2\sin B}}\quad q = \frac{{AC}}{{2\sin C}} \]

Перемножьте - и все получилось.

[kvant_ed]

Умножить первое на второе и сократить. Это справедливо так же и для второй точки пересечения окружностей

[KPEHgEJIb]

Господа, почему $p=\frac{AB}{2\sin B}$, а не $p=\frac{AB}{2\sin C}$? Ведь напротив отрезка $AB$ лежит угол $C$, а не $B$? Что-то я вообще запутался c синусом. Нам в школе вбили в голову всегда рассматривать только прямоуголный треугольник, и я теперь теряюсь.

И доказать надо, что $pq=R^2$, но радиусов то 2 разных? Какой имеется ввиду?[/math]

[незваный гость]

KPEHgEJIb писал(а):

Господа, почему $p=\frac{AB}{2\sin B}$, а не $p=\frac{AB}{2\sin C}$? Ведь напротив отрезка $AB$ лежит угол $C$, а не $B$? Что-то я вообще запутался c синусом.

Позвольте ответить вопросом на вопрос: а почему $c=2p\sin B= \frac{pb}{R}$ . Я думаю, все молчаливо предполагают, что Вы понимаете то, что пишите. Но краткий ответ — потому, что $p$ — не радиус описанной окружности, а …

KPEHgEJIb писал(а):

Нам в школе вбили в голову всегда рассматривать только прямоуголный треугольник,

Жаль. Вам не повезло.

KPEHgEJIb писал(а):

И доказать надо, что $pq=R^2$, но радиусов то 2 разных? Какой имеется ввиду?

Радиусов разных три. $p$, $q$, и радиус описанной окружности $R$. Интересно, как Вы делали этот переход: $c=2p\sin B= \frac{pb}{R}$? Что Вы имели здесь в виду под $R$?

По решению: Ваши выкладки в первом сообщении правильные (впрочем, как и картинка). Вам осталось выразить $p$ и $q$, (например, $c = \frac{p b}{R} \Rightarrow $ $p = R \frac {c}{b}$) и подставить их в $p \cdot q$.

[Brukvalub]

Угол В образован касательной и хордой окружности, поэтому он измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Если из центра меньшей окружности (см. чертеж) провести два радиуса в точки А и В, то получится равнобедренный треугольник с центральным углом при вершине, вдвое большим по сравнению с углом В. Аналогично - для угла С. Так я и получил удивившие Вас соотношения.

[KPEHgEJIb]

незваный гость, простите, я не так выразился.
$c=2p\sin B=\frac{pb}{R}$
$b=2q\sin C=\frac{qc}{R}$ - это не мои рассуждения, это написано в ответах, как подсказка к решению.

незваный гость писал(а):

Я думаю, все молчаливо предполагают, что Вы понимаете то, что пишите.

В том то и дело, что не понимаю. Поэтому я к Вам и обратился.


Brukvalub, путём подстановки углов я пришёл к выводу, что угол B действительно половина угла M (как Вы это сразу определили? это какое-то свойство треугольника?), но почему всё-таки $p=\frac{AB}{2\sin B}$, если $p=\frac{AB}{2\sin M}$.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

почему всё-таки $p=\frac{AB}{2\sin B}$, если $p=\frac{AB}{2\sin M}$

Последнее - неверно, поскольку треугольник АВМ не вписан в окружность.

KPEHgEJIb писал(а):

путём подстановки углов я пришёл к выводу, что угол B действительно половина угла M (как Вы это сразу определили? это какое-то свойство треугольника?)

Brukvalub писал(а):

Угол В образован касательной и хордой окружности, поэтому он измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.

[LynxGAV]

Вы так совсем человека запутаете...

Если хорошо разбираетесь только в прямоугольных треугольниках, то поймите эту фразу (относится к первому рисунку).

Brukvalub писал(а):

Если из центра меньшей окружности (см. чертеж) провести два радиуса в точки А и В, то получится равнобедренный треугольник с центральным углом при вершине, вдвое большим по сравнению с углом В. Аналогично - для угла С. Так я и получил удивившие Вас соотношения.

В маленькой окружности обозначим центр буквой О. Тогда треугольник AOB равнобедренный. Опустите высоту из центра О на хорду АВ, получите два прямоугольных треугольника, следовательно $\frac{AB}{2}=p \ \cos (OAB)= p \ \cos (90-\frac{AOB}{2})$. Аналогично для второй окружности.

[KPEHgEJIb]

Brukvalub,

Brukvalub писал(а):

поэтому он измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.

Как так дуга измеряется углом $B$? Дуга же не имеет никаких углов, она ведь имеет форму буквы "C".

LynxGAV, я разобрался как Вы получили $p\cos (90-\frac{AOB}{2})$ и для второй окружности получил $q\cos (90-\frac{CAZ}{2})$. Но что теперь с этим делать?

[LynxGAV]

KPEHgEJIb писал(а):

LynxGAV, я разобрался как Вы получили $p\cos (90-\frac{AOB}{2})$ и для второй окружности получил $q\cos (90-\frac{CAZ}{2})$. Но что теперь с этим делать?

Дальше надо упростить выражение по формуле $\cos (\alpha-\beta)=\dots$. Останется один неизвестный угол $AOB$. То, что он равен $2 B$, Вам уже долго и упорно объясняет Brukvalub...

[photon]

KPEHgEJIb писал(а):

Как так дуга измеряется углом $B$? Дуга же не имеет никаких углов, она ведь имеет форму буквы "C".

Не форму буквы C, а кусок окружности вполне определенного радиуса. Вот если восстановить радиусы к краям дуги, то и получите тот самый угол, которым определяется дуга.

[незваный гость]

По моему, господа помогающие очень усложняют. Почти и меня запутали.

Я разберу одну окружность, остальные (включая $R$) — разбирайтесь сами:

(1) ${\scriptstyle \triangle} AMB$ — равнобедренный, $|AM| = |MB|$.

(2) Проведём высоту этого треугольника $MZ$. Поскольку равнобедренный, она же и медиана.

(3) $MA \perp BC, \Rightarrow$ $\widehat{MBA} + \widehat{ABC} = 90$, или $\widehat{MBA} = 90 - \widehat{ABC}$.

(4) В ${\scriptstyle \triangle} MBZ$ угол ${\scriptstyle \angle} Z$ — прямой, следовательно $\widehat{ZMB} = 90 - \widehat{ABM} = \widehat{ABC}$.

(5) Итого, мы имеем прямоугольный ${\scriptstyle \triangle} MBZ$, длина гипотенузы $|MB| = p$, угол $\widehat{ZMB} = B$ и хотим найти длину катета $ZB$. Многие считают, что $|ZB| = p \sin(B)$.

(6) Осталось вспомнить, что $MZ$ — это ещё и медиана, и потому $c = 2 |ZB| = 2 p \sin(B)$.

~~~

Уффф. И никакой тригонометрии, никаких двойных углов.

~~~

Тут есть ещё один нюанс, предпочитающий оставаться незамеченным. А именно, нигде не сказано, что углы ${\scriptstyle \angle} B$ и ${\scriptstyle \angle} C$ — острые. Ну как один из них окажется тупым или не приведи Господь — прямым?! Но эти случаи тоже разберите сами.

[KPEHgEJIb]

Ура! Я разобрался
Cпасибо всем

Без последнего поста незваного гостя точно бы не осилил

[Brukvalub]

незваный гость писал(а):

Уффф. И никакой тригонометрии, никаких двойных углов.

Все это, конечно, здорово, но, на мой взгляд, обучающемуся следует все же увеличивать объем знаний и диапазон методов, а не "прогибать" решение задачи под уже имеющийся скудный запас умений, наоборот, стоит познавать новое в ходе решения задачи. Поэтому я очень рекомендую Вам, KPEHgEJIb увеличивать свою базу знаний. В частности, про углы в окружности читаем здесь http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo10.htm (на этом ресурсе и другие полезные сведения есть).