Предел функции

[Евгеша]

В общем дан такой предел:
$\lim\limits_{x \to 0} ({\frac{arcsin x}{x}})^{\frac 1 {x^2}}$

Вычисляем по правилу Лопиталя:
$\ln\lim\limits_{x \to 0} ({\frac{arcsin x}{x}})^{\frac 1 {x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln({\frac{arcsin x}{x}})}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x}{arcsin x}\cdot(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-arcsinx)}}{2{x^3}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac 1 {arcsinx\cdot\sqrt{1-x^2}}-\frac 1 x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{2{x^2}\sqrt{1-x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac1{2\sqrt{1-x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}=\frac 1 4
\lim\limits_{x \to 0} ({\frac{arcsin x}{x}})^{\frac 1 {x^2}}=e^{\frac 1 4}$

По формуле Тейлора:
$\lim\limits_{x \to 0} ({\frac{arcsin x}{x}})^{\frac 1 {x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} ({\frac{x+\frac {x^3} 6 +o(x^5)}{x}})^{\frac 1 {x^2}}=\lim\limits_{x \to 0} (1+\frac {x^2} 6 )^{\frac 1 {x^2}}=e^{\frac 1 6}$

Где ошибка?

[Brukvalub]

Евгеша писал(а):

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac 1 {arcsinx\cdot\sqrt{1-x^2}}-\frac 1 x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{2{x^2}\sqrt{1-x^2}}

На основании чего сделан этот переход?

[Евгеша]

Brukvalub писал(а):

На основании чего сделан этот переход?

Заменил arcsinx на x, исходя из эквивалентности этих функций при x->0.

[Someone]

Евгеша писал(а):

Brukvalub писал(а):

На основании чего сделан этот переход?

Заменил arcsinx на x, исходя из эквивалентности этих функций при x->0.

Заменять на эквивалентные можно только в произведении или дроби. А у Вас из этого выражения вычитается $\frac 1x$. Тут нельзя заменять.

[Brukvalub]

Евгеша писал(а):

Заменил arcsinx на x, исходя из эквивалентности этих функций при x->0.

Незачёт. Первое, что должен усвоить первокурсник: В РАЗНОСТЯХ НЕЛЬЗЯ ЗАМЕНЯТЬ ФУНКЦИИ НА ИМ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ.

[RIP]

Евгеша писал(а):

Заменил arcsinx на x, исходя из эквивалентности этих функций при x->0.

Если руководствоваться такой логикой, то этот предел находится гораздо проще:

$$\lim_{x\to0}\left(\frac{\arcsin x}x\right)^{1/x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac xx\right)^{1/x^2}=1.$$

[Евгеша]

Someone
Brukvalub
почему?
RIP
Там получится неопределенность вида $1^{\infty}$

[RIP]

Евгеша писал(а):

Там получится неопределенность вида $1^\infty$

Ничего подобного. При любом $x\ne0$ $\left(\frac xx\right)^{1/x^2}=1^{1/x^2}=1$, поэтому предел равен $1$. Никаких неопределённостей там нет.

[Brukvalub]

Вычислите таким образом (заменой на эквивалентные) предел

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx - \sin x}}{{x^3 }} \]

- получится 0, а потом - по Тейлору, и сравните результат. Теперь попытайтесь обосновать замену на эквивалентные ссылкой на теоремы анализа, и Вы поймете, что таких теорем нет. А почему их нет - см. пример.

[Евгеша]

Теперь я понял. Всем спасибо.