Оценка значения несобственного интеграла

[Limit79]

Здравствуйте!

В методичке по мат. анализу нашел такую формулу

$$\int\limits_{N+1}^{+\infty} \frac{ax+b}{(x^2+c)^d} dx \leqslant \int\limits_{N+1}^{+\infty} \frac{(a+1) x dx}{(x^2+c)^d}$$

при

$$ a \geqslant 0, \qquad b \geqslant 1, \qquad c \geqslant 0, \qquad d \geqslant 2$$

И оказалось, что она неверна, например

$$\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{(9x+5)dx}{(x^2+2)^3} > \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{10xdx}{(x^2+2)^3}$$

Искал подобную формулу в интернете -- не нашел. Может быть тут какая-нибудь маленькая опечатка и Вы сможете подсказать верную оценку?


Моя задача состоит в том, чтобы оценить сверху интеграл

$$\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{(9x+5)dx}{(x^2+2)^3}$$

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #928849 писал(а):

$$\int\limits_{N+1}^{+\infty} \frac{ax+b}{(x^2+c)^d} dx \leqslant \int\limits_{N+1}^{+\infty} \frac{(a+1) x dx}{(x^2+c)^d}$$

при

$$ a \geqslant 0, \qquad b \geqslant 1, \qquad c \geqslant 0, \qquad d \geqslant 2$$

и достаточно больших $N$.

[ИСН]

Ваша формула сводится к ерунде, хлопушкам, и банальному утверждению $(a+1)x\geqslant ax+b$. Это утверждение может быть, а может и не быть верно. Если Вы владеете знаниями о линейных функциях, то легко найдёте, при каких обстоятельствах оно верно, а при каких - нет.
Ваш интеграл берётся точно, и оценивать его нет смысла.

[Limit79]

Otta
Можно Вам страницу из методички покажу?

(Страничка)

То есть там неверно решено?

-- 09.11.2014, 20:05 --

ИСН
За что купил, за то и продаю...

Интеграл да, вычисляется, но довольно громоздко, мне будет достаточно оценки.

[Otta]

То есть таки речь о рядах. Пункт первый я бы игнорировала насмерть, сходимость ряда можно обосновать и без таких извращений, оценка нужна в пункте втором, а там $n$ можно выбирать настолько большим, насколько это удобно.
При $n>6$ неравенство верно, в чем легко убедиться непосредственно.

[Limit79]

Otta в сообщении #928863 писал(а):

При $n>6$ неравенство верно

Вы про это неравенство

$$|S-S_{n}| \leqslant \epsilon$$

?

А как убедится непосредственно?

[Otta]

Решить неравенство $5x+7\le 6x$.

[Limit79]

Otta в сообщении #928863 писал(а):

При $n>6$ неравенство верно

А почему тогда они взяли

$$n \geqslant 5.977$$

?

-- 09.11.2014, 20:40 --

Otta в сообщении #928863 писал(а):

а там $n$ можно выбирать настолько большим, насколько это удобно

Но там же написано, что "найдем наименьшее $n$"?

[Otta]

Во-первых (и это видно по первому пункту), там не отслеживается область, где это неравенство верно. Это уже нехорошо. И поэтому во втором пункте смотрели только, где будет заведомо выполнено неравенство, обеспечивающее нужную погрешность. Только с учетом интегральной оценки. Каким-то чудом совпало, что эта оценка годится, поскольку натуральные решения нужного неравенства (а нас интересуют только они) начинаются как раз с шестерки. А вообще-то это нужно требовать дополнительно, иначе.

-- 09.11.2014, 21:46 --

Limit79 в сообщении #928878 писал(а):

Но там же написано, что "найдем наименьшее $n$"?

Ну правильно, какое сможем, такое и найдем. Их оценка в любом случае слишком сурова, чтобы заботиться о том, насколько именно отличается $n$ от наименьшего с помощью приближения частичными суммами. Искать лучше же то, которое как можно меньше только с тем, чтобы считать меньше слагаемых.

[Limit79]

Otta


1) Сначала надо выяснить сходится ли ряд, допустим, выяснили, что сходится (по какому-нибудь другому признаку).

2) Далее надо произвести интегральную оценку остатка ряда. Можно ли делать ее так, как сказано там (т.е. через интегралы), но при оценке интеграла сказать, что эта оценка (оценка интеграла) верна при $n \geqslant 7$ и продолжать дальше?

3) Далее получаю какое-то неравенство

$$|S-S_{n}| \leqslant f(n)$$

(функция $f(n)$ получена в результате пункта 2).

4) Нахожу наименьшее натуральное $n \geqslant 7$ при котором выполняется неравенство

$$f(n) \leqslant \epsilon$$

Все не так?


Меня смущает то, что ищем наименьшее натуральное $n$, однако в пункте номер $2$ (при оценке интеграла) берем ограничение $n \geqslant 7$, вдруг, если не производить оценку, а вычислить исходный интеграл, то в конце неравенство

$$|S-S_{n}| \leqslant \epsilon $$

будет выполняется и при некоторых $n$, которые меньше $7$?

-- 09.11.2014, 21:16 --

С конкретными числами:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{5n+7}{(n^2+3)^3}$$

Так как

$$\frac{5n+7}{(n^2+3)^3} \sim \frac{5n}{(n^2)^3} = 5 \cdot \frac{n}{n^6} = 5 \cdot \frac{1}{n^5}$$

при

$$n \to \infty$$

Так ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}$$

сходится, то сходится и исходный ряд.

Далее:

$$|S-S_{n}| \leqslant \int\limits_{n}^{\infty}\frac{5x+7}{(x^2+3)^3} dx$$

Так как

$$5x+7 \leqslant 6x$$

при

$$x \geqslant 7$$

то при $n \geqslant 7$

$$\int\limits_{n}^{\infty}\frac{5x+7}{(x^2+3)^3} dx \leqslant \int\limits_{n}^{\infty}\frac{6x}{(x^2+3)^3} dx$$

Далее

$$|S-S_{n}| \leqslant \int\limits_{n}^{\infty}\frac{6x}{(x^2+3)^3} dx = \frac{3}{2 \cdot (n^2+3)^2}$$

Далее

$$\frac{3}{2 \cdot (n^2+3)^2} < 0.001$$

откуда

$$n > 5.977...$$

но так как $n \geqslant 7$, то

$$n=7$$

[Otta]

1-4) Да, все верно.

Limit79 в сообщении #928899 писал(а):

вдруг, если не производить оценку, а вычислить исходный интеграл, то в конце неравенство

$$|S-S_{n}| \leqslant \epsilon $$

будет выполняется и при некоторых $n$, которые меньше $7$?

Ничего страшного, Вас не просят указать минимальное $n$, при которых верна эта оценка. Вы этого не знаете в точности, а ответить на этот вопрос в точности можно, только вычислив сумму ряда. Все остальные способы, наиболее вероятно, дадут более высокие значения $n$, чем в реальности, по причине, что Вы отклонение суммы ряда от частичной суммы оцениваете достаточно грубо, и уже только для этой оценки ищете, когда она будет меньше установленного значения погрешности. Как следствие, полученный диапазон для $n$ при таком способе будет заведомо уже, чем при точном подсчете.

Но еще раз, задача не в том, чтобы найти наименьшее $n$. Наименьшесть - это бонус при вычислении, придется считать меньше слагаемых в частичной сумме. Задача в том, чтобы хоть как-то получить приближенное (с заданной погрешностью) значение. Поэтому, если Вы в результате оценки получите большее значение $n$, чем могли бы, страшного ничего не произойдет. $S$ будет отличаться от частичной суммы не более, чем на эпсилон.

[Limit79]

Otta
Понял, спасибо Вам большое!

[ewert]

Otta в сообщении #928886 писал(а):

. Их оценка в любом случае слишком сурова,

Вы слишком суровы к тем методистам. Считают они, конечно, непристойно, но пытаются считать -- всё-таки ровно то, что нужно.

А надо это делать гораздо грубее. Если $n\geqslant1$, то $\int\limits_{n}^{\infty}\frac{5x+7}{(x^2+3)^3} dx \leqslant 12\int\limits_{n}^{\infty}\frac{dx}{x^5}=3n^{-4}<10^{-3}$, откуда $n>\sqrt[4]{3000}\approx\sqrt{55}\approx7.4$.

Но это мы на всякий случай брали очень грубую оценку снизу для $n$. Возьмём, исходя из последнего результата, $n\geqslant8$; тогда будет (чуть-чуть, несущественно, огрубляя) $n>\sqrt[4]{1500}\approx\sqrt{39}\approx6.4$.

Это меньше, чем изначальное предположение $n\geqslant8$, поэтому придётся сделать ещё одну итерацию. Если $n\geqslant6$, то... ну примерно те же самые $n>6\ \text{с копейками}$ и выйдет. Итого: $n_{\min}=7$.

Я намеренно считал всё очень грубо и в уме, чтобы показать, насколько эти прикидки легки и надёжны. Что же касается их точности -- легко прикинуть нижнюю границу для минимального эн; довольно очевидно, что наша оценка завышена, скорее всего, не более чем на единицу и уж точно не более, чем на два. Что практического значения не имеет. И с уменьшением требуемого эпсилона этот разрыв будет только сокращаться.

Вот ровно так и нужно. Если, конечно, нам надо ехать, а не шашечки.

[Otta]

ewert в сообщении #928973 писал(а):

А надо это делать гораздо грубее.

А вот и не буду я спорить, сама бы так и оценивала.