2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 02:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
SlayZar, Вы пишете синусы и косинусы не от того, от чего они есть. А от чего они есть? От числа, умноженного на икс. Какого числа? - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 18:14 


14/11/13
244
Someone в сообщении #928554 писал(а):
SlayZar в сообщении #927935 писал(а):
Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$
Среди этих корней есть два действительных: … и …. Остальные 998 разбиваются на пары комплексно сопряжённых вида $\cos\frac{\pi k}{500}\pm\sin\frac{\pi k}{500}$, в которых $k$ пробегает целые значения от … до ….

Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны... По всей видимости от $0$ до $500$, но вот тут не уверен...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Многовато будет! А при каких же $k$ получаются вещественные значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
SlayZar в сообщении #928820 писал(а):
Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны...

Руководствуйтесь тем, что всего корней должно быть известное количество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 19:07 


14/11/13
244
ИСН в сообщении #928848 писал(а):
SlayZar в сообщении #928820 писал(а):
Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны...

Руководствуйтесь тем, что всего корней должно быть известное количество.

Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
SlayZar в сообщении #928861 писал(а):
Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.
$k$ должно нумеровать пары комплексно сопряжённых корней. И какие же будут значения $k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 20:56 


14/11/13
244
Someone в сообщении #928906 писал(а):
SlayZar в сообщении #928861 писал(а):
Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.
$k$ должно нумеровать пары комплексно сопряжённых корней. И какие же будут значения $k$?

Тогда от $1$ до $499$ получается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Ну вот с учётом этого и пишите решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 23:19 


14/11/13
244
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+C_{1001}e^x +C_{1002} e^{-x} + C_{1003} e^{\cos{\pi\over500}x} \cos{\pi\over500}x + C_\(1004\) e^{\cos{\pi\over500}x} \sin{\pi\over500}x + ... + C_{1999} e^{\cos{499\pi\over500}x} \cos{499\pi\over500}x} + C_{2000}e^{\cos{499\pi\over500}x}  \sin{499\pi\over500}x$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение10.11.2014, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Синусы каких это величин у Вас фигурируют и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение10.11.2014, 18:54 


14/11/13
244
У нас получаются $998$ комплексных корней.
при $k=1$ получаем $\lambda=\cos{\frac{\pi}{500}}}+i\sin{\frac{\pi}{500}}}$, а при $k=999$ получаем $\lambda=\cos{\frac{\pi}{500}}}-i\sin{\frac{\pi}{500}}}$

при $k=2$ получаем $\lambda=\cos{\frac{2 \pi}{500}}}+i\sin{\frac{2 \pi}{500}}}$, а при $k=998$ получаем $\lambda=\cos{\frac{2 \pi}{500}}}-i\sin{\frac{2 \pi}{500}}}$

...

при $k=499$ получаем $\lambda=\cos{\frac{499 \pi}{500}}}+i\sin{\frac{499 \pi}{500}}}$, а при $k=501$ получаем $\lambda=\cos{\frac{499 \pi}{500}}}-i\sin{\frac{499 \pi}{500}}}$

Итого $499$ пар комплексных сопряженных корней.
Для каждой пары $\lambda=\alpha\pm\beta i$ имеем общее решение $y(x) = C_1e^{\alpha x} \cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x $

Тогда общим решением для пары при $k=1$ получается будет $y(x) = C_1e^{\cos{\frac{\pi}{500}}x}\cos({\sin{\frac{\pi}{500}}x}) + C_2e^{\cos{\frac{\pi}{500}}x} \sin({sin{\frac{\pi}{500}}x}) $
...
И так для каждой пары...
Так? Или же всё таки было правильно и $\cos(\sin)$ и $\sin(\sin)$ это неверено?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение10.11.2014, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
"Правильно" в высшем смысле - это когда никакие подколочки Вас не могут сбить с толку, потому что Вы знаете, что правильно, а что нет, и что правильное точно правильно, и если кто в этом усомнится, Вы на него посмотрите этак - "дядя, ты что, дурак?"
А в обыденном бытовом смысле - было неправильно, а стало правильно, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение10.11.2014, 22:21 


14/11/13
244
Ну пока только опыта набираюсь, спасибо за помощь)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group