Решить линейное однородное дифф. уравнение

[ИСН]

SlayZar, Вы пишете синусы и косинусы не от того, от чего они есть. А от чего они есть? От числа, умноженного на икс. Какого числа? - - -

[SlayZar]

Someone в сообщении #928554 писал(а):

SlayZar в сообщении #927935 писал(а):

Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$

Среди этих корней есть два действительных: … и …. Остальные 998 разбиваются на пары комплексно сопряжённых вида $\cos\frac{\pi k}{500}\pm\sin\frac{\pi k}{500}$, в которых $k$ пробегает целые значения от … до ….

Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны... По всей видимости от $0$ до $500$, но вот тут не уверен...

[provincialka]

Многовато будет! А при каких же $k$ получаются вещественные значения?

[ИСН]

SlayZar в сообщении #928820 писал(а):

Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны...

Руководствуйтесь тем, что всего корней должно быть известное количество.

[SlayZar]

ИСН в сообщении #928848 писал(а):

SlayZar в сообщении #928820 писал(а):

Два действительных корня $1$ и $-1$, а вот значения $k$ не совсем понятны...

Руководствуйтесь тем, что всего корней должно быть известное количество.

Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.

[Someone]

SlayZar в сообщении #928861 писал(а):

Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.

$k$ должно нумеровать пары комплексно сопряжённых корней. И какие же будут значения $k$?

[SlayZar]

Someone в сообщении #928906 писал(а):

SlayZar в сообщении #928861 писал(а):

Ну да, $k$ будут от $1$ до $999$ получается.

Всего $998$ комплексных корней. И $499$ пар сопряженных корней.

$k$ должно нумеровать пары комплексно сопряжённых корней. И какие же будут значения $k$?

Тогда от $1$ до $499$ получается...

[Someone]

Ну вот с учётом этого и пишите решение.

[SlayZar]

$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+C_{1001}e^x +C_{1002} e^{-x} + C_{1003} e^{\cos{\pi\over500}x} \cos{\pi\over500}x + C_\(1004\) e^{\cos{\pi\over500}x} \sin{\pi\over500}x + ... + C_{1999} e^{\cos{499\pi\over500}x} \cos{499\pi\over500}x} + C_{2000}e^{\cos{499\pi\over500}x} \sin{499\pi\over500}x$
Так?

[ИСН]

Синусы каких это величин у Вас фигурируют и почему?

[SlayZar]

У нас получаются $998$ комплексных корней.
при $k=1$ получаем $\lambda=\cos{\frac{\pi}{500}}}+i\sin{\frac{\pi}{500}}}$, а при $k=999$ получаем $\lambda=\cos{\frac{\pi}{500}}}-i\sin{\frac{\pi}{500}}}$

при $k=2$ получаем $\lambda=\cos{\frac{2 \pi}{500}}}+i\sin{\frac{2 \pi}{500}}}$, а при $k=998$ получаем $\lambda=\cos{\frac{2 \pi}{500}}}-i\sin{\frac{2 \pi}{500}}}$

...

при $k=499$ получаем $\lambda=\cos{\frac{499 \pi}{500}}}+i\sin{\frac{499 \pi}{500}}}$, а при $k=501$ получаем $\lambda=\cos{\frac{499 \pi}{500}}}-i\sin{\frac{499 \pi}{500}}}$

Итого $499$ пар комплексных сопряженных корней.
Для каждой пары $\lambda=\alpha\pm\beta i$ имеем общее решение $y(x) = C_1e^{\alpha x} \cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x $

Тогда общим решением для пары при $k=1$ получается будет $y(x) = C_1e^{\cos{\frac{\pi}{500}}x}\cos({\sin{\frac{\pi}{500}}x}) + C_2e^{\cos{\frac{\pi}{500}}x} \sin({sin{\frac{\pi}{500}}x}) $
...
И так для каждой пары...
Так? Или же всё таки было правильно и $\cos(\sin)$ и $\sin(\sin)$ это неверено?

[ИСН]

"Правильно" в высшем смысле - это когда никакие подколочки Вас не могут сбить с толку, потому что Вы знаете, что правильно, а что нет, и что правильное точно правильно, и если кто в этом усомнится, Вы на него посмотрите этак - "дядя, ты что, дурак?"
А в обыденном бытовом смысле - было неправильно, а стало правильно, да.

[SlayZar]

Ну пока только опыта набираюсь, спасибо за помощь)