2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 14:07 


10/03/13
74
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с решением задачи:
Доказать, что если векторы $[a,b], [b,c], [c,a]$ компланарны, то они коллинеарны.

Это значит, что смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$, а как дальше раскрывать - не знаю. Через координаты - это будет очень долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Попробуйте определение компланарности. Из него можно сделать вывод, чему равно смешанное произведение векторов $a, b, c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 15:23 


13/08/14
349
Dellghin в сообщении #928687 писал(а):
коллинеарны.

Это значит, что смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$

Если три вектора коллинеарны, то их смешанное произведение равно нулю. Однако если смешанное произведение равно нулю, это вовсе не значит, что векторы обязательно коллинеарны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 15:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dellghin в сообщении #928687 писал(а):
смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$, а как дальше раскрывать - не знаю

Раскройте, скажем, $[[b,c], [c,a]]=0$ по формуле "бац минус цап". Там довольно быстро всё сведётся к просто $(a,b,c)$ (в конце концов -- в квадрате).

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А по-простому, линейную комбинацию использовать - западло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:06 


10/03/13
74
Разобрался, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #928737 писал(а):
А по-простому, линейную комбинацию использовать - западло?

Можно, но для этого надо догадаться, что нас должно интересовать именно $(a,b,c)$. А так оно само выскакивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:15 


10/03/13
74
А если через линейную комбинацию, то как расписывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А вы знаете определение компланарности через линейную комбинацию? Там есть два варианта: симметричный (когда $=0$) и несимметричный. Вот из второго можно попытаться получить следствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dellghin в сообщении #928753 писал(а):
А если через линейную комбинацию, то как расписывать?

Если, например, $[a,b]=\alpha[a,c]+\beta[b,c]$, то чему заведомо ортогонально $[a,b]$?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ewert, я что-то не могу сообразить, нужно ли здесь отдельно разбирать случаи нулевых/коллинеарных исходных векторов? Или оно сразу в общем случае получается? Потому что ортогональность нулевому вектору не дает же ограничений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #928760 писал(а):
Потому что ортогональность нулевому вектору не дает же ограничений.

Что значит "не даёт"? Ортогональность в точности равносильно тому, что смешанное произведение исходных векторов равна нулю, и какая разница, нулевые там они или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Это я понимаю, но вопрос же в другом: будут ли векторные произведения коллинеарны. Если они все ортогональны некоторому семейству векторов, все равно коллинеарности может и не быть. Если векторы этого семейства окажутся нулевыми. Грубо говоря, ведь исходные векторы могут и не задавать плоскость. Просто этот случай надо обговорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и копланарность
Сообщение09.11.2014, 17:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #928776 писал(а):
Грубо говоря, ведь исходные векторы могут и не задавать плоскость. Просто этот случай надо обговорить.

Это да, в этом месте оговорить действительно нужно, но оговорка тривиальна: в вырожденном случае, когда исходные векторы коллинеарны, все их векторные произведения просто равны нулю.

Если же через бац минус цап, то можно и без оговорок: поскольку по ходу дела векторное произведение каждой пары векторных произведений всё равно выражается через смешанное произведение исходных, оно автоматически равно нулю, т.е. все векторные произведения попарно коллинеарны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group