Векторное произведение и копланарность

[Dellghin]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, с решением задачи:
Доказать, что если векторы $[a,b], [b,c], [c,a]$ компланарны, то они коллинеарны.

Это значит, что смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$, а как дальше раскрывать - не знаю. Через координаты - это будет очень долго.

[provincialka]

Попробуйте определение компланарности. Из него можно сделать вывод, чему равно смешанное произведение векторов $a, b, c$.

[Evgenjy]

Dellghin в сообщении #928687 писал(а):

коллинеарны.

Это значит, что смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$

Если три вектора коллинеарны, то их смешанное произведение равно нулю. Однако если смешанное произведение равно нулю, это вовсе не значит, что векторы обязательно коллинеарны.

[ewert]

Dellghin в сообщении #928687 писал(а):

смешанное произведение $([a,b], [b,c], [c,a])=0$, а как дальше раскрывать - не знаю

Раскройте, скажем, $[[b,c], [c,a]]=0$ по формуле "бац минус цап". Там довольно быстро всё сведётся к просто $(a,b,c)$ (в конце концов -- в квадрате).

[provincialka]

А по-простому, линейную комбинацию использовать - западло?

[Dellghin]

Разобрался, спасибо!

[ewert]

provincialka в сообщении #928737 писал(а):

А по-простому, линейную комбинацию использовать - западло?

Можно, но для этого надо догадаться, что нас должно интересовать именно $(a,b,c)$. А так оно само выскакивает.

[Dellghin]

А если через линейную комбинацию, то как расписывать?

[provincialka]

А вы знаете определение компланарности через линейную комбинацию? Там есть два варианта: симметричный (когда $=0$) и несимметричный. Вот из второго можно попытаться получить следствия.

[ewert]

Dellghin в сообщении #928753 писал(а):

А если через линейную комбинацию, то как расписывать?

Если, например, $[a,b]=\alpha[a,c]+\beta[b,c]$, то чему заведомо ортогонально $[a,b]$?...

[provincialka]

ewert, я что-то не могу сообразить, нужно ли здесь отдельно разбирать случаи нулевых/коллинеарных исходных векторов? Или оно сразу в общем случае получается? Потому что ортогональность нулевому вектору не дает же ограничений.

[ewert]

provincialka в сообщении #928760 писал(а):

Потому что ортогональность нулевому вектору не дает же ограничений.

Что значит "не даёт"? Ортогональность в точности равносильно тому, что смешанное произведение исходных векторов равна нулю, и какая разница, нулевые там они или нет.

[provincialka]

Это я понимаю, но вопрос же в другом: будут ли векторные произведения коллинеарны. Если они все ортогональны некоторому семейству векторов, все равно коллинеарности может и не быть. Если векторы этого семейства окажутся нулевыми. Грубо говоря, ведь исходные векторы могут и не задавать плоскость. Просто этот случай надо обговорить.

[ewert]

provincialka в сообщении #928776 писал(а):

Грубо говоря, ведь исходные векторы могут и не задавать плоскость. Просто этот случай надо обговорить.

Это да, в этом месте оговорить действительно нужно, но оговорка тривиальна: в вырожденном случае, когда исходные векторы коллинеарны, все их векторные произведения просто равны нулю.

Если же через бац минус цап, то можно и без оговорок: поскольку по ходу дела векторное произведение каждой пары векторных произведений всё равно выражается через смешанное произведение исходных, оно автоматически равно нулю, т.е. все векторные произведения попарно коллинеарны.