График распределения электронной плотности атома водорода.

[AAA1111]

Munin в сообщении #925221 писал(а):

Это не вертикальная черта, это восклицательный знак.

Интересно по какой причине в ЛЛ вместо него вертикальную черту везде в формулах напечатали.
Или у них там на "печатной машинке" клавиша с восклицательным знаком не работала?

Munin в сообщении #925221 писал(а):

Если нам достаточно той химии, которая бывает реально в таблице Менделеева, а не в каких-то дальнейших элементах ...

Да, пока достаточно.

Ушел считать, посчитаю наверно не скоро.

[Munin]

AAA1111 в сообщении #925333 писал(а):

Интересно по какой причине в ЛЛ вместо него вертикальную черту везде в формулах напечатали.

Это просто некачественная печать. Если приглядитесь, то увидите восклицательный знак. Точно так же, в современных изданиях, которые к тому же есть в сети в электронном виде, везде восклицательные знаки.

-- 02.11.2014 12:01:48 --

У меня, когда я всё это вручную посчитал, ощущения были потрясающие.

[AAA1111]

Munin в сообщении #925354 писал(а):

Это просто некачественная печать. Если приглядитесь, то увидите восклицательный знак. Точно так же, в современных изданиях, которые к тому же есть в сети в электронном виде, везде восклицательные знаки.

У меня электронный скан четвёртого издания.
Там именно вертикальная черта везде, а не восклицательный знак.
Сколько не приглядывайся, везде кроме чётко прорисованной черты ничего не увидишь.
Как и здесь на форуме кстати тоже. В теге (в этом сообщении) прописал везде восклицательный знак, а отображается совсем иначе.

Munin в сообщении #925354 писал(а):

У меня, когда я всё это вручную посчитал, ощущения были потрясающие.

Мне что-то подобное видимо не скоро ещё предстоит пережить, к сожалению.
С математикой проблемы. Планомерно придётся видимо изучать.

Munin в сообщении #925221 писал(а):

Ну, до шестой производной вам может быть трудновато, так что ограничимся для начала первыми двумя производными, а потом, если не иссякнет желание - возьмём третью, и может быть, четвёртую.
...
И разлинуйте табличку для разных $n,l,$ и начинайте её заполнять для разных $n+l$: сначала нулевая производная, потом первая производная, потом вторая производная...

Даже этого пока не могу сделать.

(1)
$\psi = - \frac{2}{n^2} \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{[(n+l)!]^3}} e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} (-1)^m i^l \sqrt{\frac{(2l+1)}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m (\cos \theta)$

(2)
$e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) e^{im\varphi}$

(3)
$\frac{d^{n-l}}{dz^{n-l}} e^{-z} z^n$

(4)
$\frac{d^{l-m}}{(dc)^{l-m}} (c^2 - 1)^l$

Выявились сложности с пониманием фрагмента:
$\frac{d^{n-l}}{dz^{n-l}}$
В школьных учебниках подобного не встречал. Можно ли это понимать просто как:
$(\frac{df(z)}{dz})^{n-l} = (f '(z))^{n-l}$
?

И вообще, с пониманием что делать. Просто взять выражение:
$(f '(z))^{n-l} e^{-z} z^n$
Подставить в него сначала $n =1, l = 0.$ И записать выражение $(f '(z))^{1} e^{-z} z^1$ в клетку напротив.
После взять (посчитать) первую производную этого выражения:
$((f '(z))^{1} e^{-z} z^1)'$
и записать в следующую клетку напротив.
Потом вторую и тоже записать соответственно.
Далее подставлять уже $n = 2, l = 0; n = 2, l = 1; n = 3, l = 0$ и так далее вычисляя для каждого случая по две производных.
Так?
(похоже я вообще не въезжаю что делать)

[warlock66613]

AAA1111 в сообщении #928258 писал(а):

В школьных учебниках подобного не встречал. Можно ли это понимать просто как:
$(\frac{df(z)}{dz})^{n-l} = (f '(z))^{n-l}$
?

Нет. $d^n f / dz^n$ - это производная $n$-го порядка, а не n-ая степень производной. Например, $\frac {d^3 f(z)} {dz^3} = \frac d {dz} \left( \frac d {dz} \left( \frac {df(z)} {dz} \right) \right) = f'''(z)$

[AAA1111]

warlock66613 в сообщении #928262 писал(а):

Нет. $d^n f / dz^n$ - это производная $n$-го порядка, а не n-ая степень производной. Например, $\frac {d^3 f(z)} {dz^3} = \frac d {dz} \left( \frac d {dz} \left( \frac {df(z)} {dz} \right) \right) = f'''(z)$

С этим теперь ясно, а в остальном как?
Правильно понял что делать?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #928258 писал(а):

У меня электронный скан четвёртого издания.
Там именно вертикальная черта везде, а не восклицательный знак.

У меня электронные сканы первого, четвёртого, пятого (с опечатками) и шестого (с исправлением части опечаток) издания.

Там всё-таки восклицательный знак, хотя это надо под очень большим увеличением смотреть, чтобы разглядеть. В шестом издании (в котором все формулы напечатаны ясно) - это восклицательный знак.

AAA1111 в сообщении #928258 писал(а):

Как и здесь на форуме кстати тоже. В теге (в этом сообщении) прописал везде восклицательный знак, а отображается совсем иначе.

Нет, я вижу восклицательные знаки, всё нормально.

AAA1111 в сообщении #928258 писал(а):

(3)
$\frac{d^{n-l}}{dz^{n-l}} e^{-z} z^n$

(4)
$\frac{d^{l-m}}{(dc)^{l-m}} (c^2 - 1)^l$

Выявились сложности с пониманием фрагмента:
$\frac{d^{n-l}}{dz^{n-l}}$
В школьных учебниках подобного не встречал. Можно ли это понимать просто как:
$(\frac{df(z)}{dz})^{n-l} = (f '(z))^{n-l}$
?
:oops:

Нет. Это то же самое, как если бы записать
$\dfrac{d^{n-l}(e^{-z} z^n)}{dz^{n-l}}.$
То есть, смотрите на это как на запись типа $\dfrac{d^{n-l}w}{dz^{n-l}}$ - кратную (повторную) производную. В школе же была запись $\dfrac{d^2y}{dx^2}$? Вот и здесь то же самое, только $n-l$ раз.

Просто часто выражение под производной - само по себе большое, и неудобно его втаскивать в числитель дроби. Тогда его выделяют как множитель, аналогично алгебраической дроби $\dfrac{a^k b}{c^k}=\dfrac{a^k}{c^k}b.$ Это чисто условность в записи, часть $\dfrac{d^k}{dx^k}$ при этом не несёт смысла дробного множителя, это условная запись - надо взять производную от того, что написано после такой "дроби". При этом считается, что производная "распространяется" на один множитель правее, а если надо взять производную от какой-то суммы, или ограничить как-то, то надо ставить скобки:
$\dfrac{d^k}{dx^k}(a+b)=\dfrac{d^k(a+b)}{dx^k},$
$\Bigl(\dfrac{d^k}{dx^k}a\Bigr)\Bigl(\dfrac{d^k}{dx^k}b\Bigr)=\dfrac{d^k a}{dx^k}\cdot\dfrac{d^k b}{dx^k}.$

AAA1111 в сообщении #928258 писал(а):

И вообще, с пониманием что делать. Просто взять выражение:
$(f '(z))^{n-l} e^{-z} z^n$
Подставить в него сначала $n =1, l = 0.$ И записать выражение $(f '(z))^{1} e^{-z} z^1$ в клетку напротив.
После взять (посчитать) первую производную этого выражения:
$((f '(z))^{1} e^{-z} z^1)'$
и записать в следующую клетку напротив.

Теперь должно быть понятно, что вы должны посмотреть на выражение $\dfrac{d^{n-l}}{dz^{n-l}}e^{-z}z^n,$ и увидеть, что в нём под производной - стоит функция не какая-то ``$f(z)$'', а конкретная $e^{-z}z^n.$ Вот эту производную и надо взять - сначала 1 раз (точнее, сначала 0 раз - то есть, просто переписать эту функцию в первую клеточку), потом 2 раза, и так далее.

[AAA1111]

Munin в сообщении #928306 писал(а):

В школе же была запись $\dfrac{d^2y}{dx^2}$?

В том школьном учебнике, что я смотрел, именно таких обозначений не было.
А в школе у нас производные высших порядков вообще не давали. Я в школе давненько учился.
В моё время например, ни комбинаторики, ни множеств мы точно не изучали.
А теперь их аж ещё в 9 классе изучают оказывается.

Кстати сказать, у нас в школе по многим предметам вообще всего по несколько учебников на весь класс было.
И не подумайте, что я древний старикан учившийся после второй мировой.
Тогда говорят и то лучше было (учебников хватало, а вот с тетрадями были проблемы), чем в 90-е.

Munin в сообщении #928306 писал(а):

и увидеть, что в нём под производной - стоит функция не какая-то ``$f(z)$'', а конкретная $e^{-z}z^n.$ Вот эту производную и надо взять

Значит надо найти производную функции $f (z) = e^{-z}z^n$.
Получается первая производная (это для $n = 1, l = 0$) будет равна:
$f '(z) = e^{-z}z^n + e^{-z}nz^{n-1} = e^{-z}(z^n + nz^{n-1})$

Вторая производная (это для $n = 2, l = 0$) будет равна:
$f ''(z)=(e^{-z}z^n + e^{-z}nz^{n-1})'=$
$=e^{-z}z^n+e^{-z}nz^{n-1}+e^{-z} z^{n-1}+e^{-z} (n^2-n)z^{n-2}=$
$= e^{-z}(z^n + nz^{n-1} + z^{n-1} + n^2z^{n-2} - nz^{n-2})$

Так?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #928380 писал(а):

В том школьном учебнике, что я смотрел, именно таких обозначений не было.

Ясно. Ну, $\dfrac{d^2f(x)}{dx^2}\equiv f''(x).$

AAA1111 в сообщении #928380 писал(а):

А в школе у нас производные высших порядков вообще не давали.

Сначала взять производную, потом от того что получилось - ещё раз взять производную.

AAA1111 в сообщении #928380 писал(а):

Значит надо найти производную функции $f (z) = e^{-z}z^n$.
Получается первая производная (это для $n = 1, l = 0$) будет равна:
$f '(z) = e^{-z}z^n + e^{-z}nz^{n-1} = e^{-z}(z^n + nz^{n-1})$

Вторая производная (это для $n = 2, l = 0$) будет равна:
$f ''(z) = (e^{-z}z^n + e^{-z}nz^{n-1})' = e^{-z}z^n+e^{-z}nz^{n-1}+e^{-z} z^{n-1}+e^{-z} (n^2 - n)z^{n-2}=$
$= e^{-z}(z^n + nz^{n-1} + z^{n-1} + n^2z^{n-2} - nz^{n-2})$

Так?

Первая правильно, во второй пошли описки.

Кроме того, так как вы уже знаете, чему равно $n,$ то можете подставлять их сразу в свои итоговые формулы.

[AAA1111]

Munin в сообщении #928391 писал(а):

Первая правильно, во второй пошли описки.

Одно $n$ пропустил.

Подставляю например, $n = 2$:
$f ''(z)=(e^{-z}z^2 + e^{-z}2z^{2-1})'=$
$=(e^{-z}z^2 + e^{-z}2z)'=$
$=e^{-z}z^2 + 2e^{-z}z + 2e^{-z}z + 2e^{-z}=$
$=e^{-z}(z^2 + 4z+ 2)$

[Munin]

Теперь правильно.

[Munin]

Ну что, выдохлись?

[AAA1111]

Munin в сообщении #929677 писал(а):

Ну что, выдохлись?

Нет.
Для (d.13) составил и сделал небольшой "перекур." Отвлёкся на другие полезные темы, дела.
Обычно если время не поджимает, часто так делаю.
Чтобы "мотивационная энергия" восстановилась/подкопилась.
Насиловать и раздражать собственный организм контрпродуктивно.
Чередую, чтобы не переутомлять нервные клетки одного и того же участка головного мозга.
Иначе возникает эффект в простонародии именуемый таким понятием как "надоело."
Хотя на самом деле, я считаю, что такого явления по сути не существует.
И "надоело" означает одно из двух, либо нецелесообразно,
либо утомились нервные клетки соответствующего участка коры головного мозга,
отвечающего за данный вид деятельности и используемый участок памяти.

Для (с.4),
при $l = 1, m = 0$ первая производная:
$2c$

Вторая, например, при $l = 2, m = 0$:
$12c^2 - 4$

Если верно, то для остальных $l$ посчитать думаю проблем возникнуть не должно.
Как посчитаю, что дальше делать?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #929693 писал(а):

Насиловать и раздражать собственный организм контрпродуктивно.

Ну, это как раз наоборот. Подумайте об этом как о спортивной тренировке. Если требовать от организма что-то, с чем он справляется с трудом, то конечно, будет тяжело. Но организм поймёт, что ему надо тянуться, и перестроится так, чтобы в следующий раз эти же усилия дались легче. Потом ещё легче. И в итоге, вы получите прогресс собственных способностей. Вам же самому это понравится, потому что гораздо легче и приятней ходить и бегать, чем ковылять и хромать.

AAA1111 в сообщении #929693 писал(а):

Чтобы "мотивационная энергия" восстановилась/подкопилась...
Иначе возникает эффект в простонародии именуемый таким понятием как "надоело."

Ну что ж, тут вы правы, мотивацию надо подпитывать. Можно подпитывать её и искусственно: например, поздравьте себя с успехом, купите и съешьте тортик, устройте себе вечер приятной музыки, и т. п.

[AAA1111]

Munin в сообщении #929713 писал(а):

Ну, это как раз наоборот. Подумайте об этом как о спортивной тренировке. Если требовать от организма что-то, с чем он справляется с трудом, то конечно, будет тяжело. Но организм поймёт, что ему надо тянуться, и перестроится так, чтобы в следующий раз эти же усилия дались легче. Потом ещё легче. И в итоге, вы получите прогресс собственных способностей. Вам же самому это понравится, потому что гораздо легче и приятней ходить и бегать, чем ковылять и хромать.

Не совсем так. В этом я с Вами не соглашусь.

Не скажу за всех, но у меня лично совсем по иному.

Когда дело касается спорта, то одно, а когда обучения...
Например бегать, тренируясь я могу через не могу и нормально в психическом плане чувствую себя при этом, даже когда очень тяжело физически.
Причём всегда так было, даже в детстве, когда ещё только начинал приобщаться к спорту. Тренироваться могу и тренировался до изнеможения, до упада.
А вот если начинаю перегружать себя учёбой, то возникает очень неприятный психический эффект, который я даже описать толком не могу.
Но чувства надо сказать преотвратительнейшие. Раздражение какое то я бы даже сказал грязное. Омерзительные чувства, в общем.
И допускать я этого не хочу ни под каким предлогом. Ибо это сильно ослабляет, угнетает, весь позитивный настрой,
бодрость и вдохновение надолго (вплоть до нескольких дней) пропадают.
Да и вообще просто погано себя от этого чувствую. Настроение падает.

Особенно это всё "дело" обостряется когда недостаточно мотивации (когда целесообразность не очевидная).
Тут со спортом аналогия тоже прослеживается.

Например, если боксёров пытаться заставлять учить танцевать вальс, сказав, что это пригодится им на ринге,
то мы тем самым едва ли сможем надолго удержать их за этим занятием.

Или другой пример, с теми же боксёрами.
Прыжки на скакалке. Польза для поединка мягко говоря совсем не очевидная.
И если обучаемый не осознает, не поймёт, не почувствует эту пользу со всей ясностью,
не увидит чётко прослеживаемой связи одного с другим, прослеживаемой закономерности,
то прыгать на скакалке его долго не заставишь. А если и заставишь, то толку от этого всё равно не будет почти.

Так вот, к чему я это всё?
К тому, что КМ мне конечно интересна, но всё же не самими расчётами и формулами, а пониманием её сути.
Да и строго говоря интересна не сама по себе как самоцель.
А интересна как инструмент для понимания химических реакций на глубинном уровне.
А это в свою очередь как инструмент для понимания устройства мира в целом.
Логическая цепочка получается довольно длинная.
Дорога долгая, считать приходится много (для меня это много), а суть от этого яснее по понятным причинам сразу не становится.

Так что получается это как раз почти тот самый сложный случай для меня,
когда и раздражение от трудного понимания, рутинных однообразных расчётов имеет место быть,
и с мотивацией далеко не так всё просто.

Идти конечно всё равно нужно, но по вышеописанным причинам перегрузки в этом деле для меня "нерентабельны."
Совсем не так как в спорте. Да и там с перегрузками тоже известное дело, нужно знать и соблюдать меру.
Постепенно наращивать обороты.

Так подробно изложил ещё и потому, что интересны мнения других по этому поводу.
Да и может пригодиться кому, у кого с обучением похожие трудности.
Насколько я заметил у многих они даже не осознанные.
В результате заброшенные попытки изучения наук,
а в худшем случае даже появление устойчивого отвращения ко всему этому делу.

[Munin]

AAA1111 в сообщении #929769 писал(а):

А вот если начинаю перегружать себя учёбой, то возникает очень неприятный психический эффект, который я даже описать толком не могу.
Но чувства надо сказать преотвратительнейшие. Раздражение какое то я бы даже сказал грязное. Омерзительные чувства, в общем.

Ну а чего вы хотели? Когда занимаетесь физической нагрузкой - болят мышцы. Когда занимаетесь умственной - голова начинает протестовать. Вот в таком виде.

Но к мышечной боли вы привыкли, и даже, видимо, готовы принимать её с радостью. Вот это же надо воспитать в себе и по отношению к умственной. Да, поначалу через "не могу", "неприятно". Потом появится привычка и отрицательные эффекты вы перестанете замечать. Научитесь расслабляться и восстанавливаться, быстрее переходить от нагрузки к отдыху и обратно.

AAA1111 в сообщении #929769 писал(а):

Логическая цепочка получается довольно длинная.
Дорога долгая, считать приходится много (для меня это много), а суть от этого яснее по понятным причинам сразу не становится.

Ну что ж. Давайте не будем вас сильно мучать, а используем то, что есть.

Предлагаю вам "собрать" окончательные формулы для трёх случаев:
- $n=1,\quad l=0,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $1s$;
- $n=2,\quad l=0,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $2s$;
- $n=2,\quad l=1,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $2p$ - конкретно вариант $2p_z,$ если вам это будет интересно.

В частности, вы должны увидеть в одном из результатов - ту формулу, которую процитировали ещё в первом сообщении. Но не знали тогда, откуда она берётся. Теперь вы должны увидеть: из произведения радиальной и угловой части, где угловая - произведение двух угловых частей, "широтной" и "долготной".

Насчитанных производных вам для этого хватит, кроме (d.13) для $n=2,\quad l=1.$